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从纯几何角度来说，这个2倍角，不好用。

那就直接解三角形好了，设$MC=2a,CD=b,\angle B=x$。

由$C=2B$，熟知$$AB^2=2b(2b+3a)，$$（这个熟知借用的2#，不过，这个也不难证，无论是平几，还是三角……），除边关系外，还有一个角关系.

即，由正弦定理$$\frac {2b}{\sin x}=\frac {AB}{\sin 2x}\Rightarrow \cos x=\frac {AB}{4b}\Rightarrow \cos 2x=\frac {3a-2b}{4b}.$$

于是在$\triangle DCM$中由余弦定理，$$MD^2=b^2+2a^2-2\cdot b\cdot 2a\cdot \cos 2x=\ldots=b^2+2ab+a^2.$$

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回复 3# kuing

看看乌贼能不能整合一个平几方法出来~这个脑洞意料之外，但合情合理。

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回复 5# kuing

这也是一个方向，不过，这样两部分是割裂的，有些奇怪。

所以，不如直接Stewar定理到底，即，延长BC至D，连接AD，在等腰三角形ABD中，（那个由2倍角得到的边关系即是特殊情况下的Stewart定理）有$$AB^2=AC^2+BC\cdot CD=AC^2+BC\cdot AC.$$

下类似于5#

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回复 8# 乌贼

一个笔误：
$\triangle MEN\cong \triangle {\color{red}N}CK$中的点$N$应该是点${\color{red}M}$ .
其次点$H$没有交待，$GQ$与$EC$的交点.

最后，第一步中的两个全等三角形我看了好久，结合中垂直线，发现弧$EN$=弧$KC$，有点难.



回复 9# 乌贼

厉害，引理将二倍角条件发挥了“强大”的作用，这方法只属于乌贼你啊，学习30~50分钟，才完全明白。一度想放弃，线多，角关系也多。

isee

回复 15# 乌贼

是啊，事实上有三组平行。
原来是用圆内接四边形外角等于内对角啊。

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回复 11# kuing

9494

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回复 12# 乌贼

除去平几法与解析法，5#+6#的硬算也是相当自然的。

如果0.1，tzhp6666，南山菊，无业游民或M大等等等人教BBS哪一批神手——在这里的话——可惜不在——应该可能吧，会有非常巧的偏少的辅助线。

其实，能有个平几法已然不错了，你这个，把2倍角这么用，我还是头次见。。。。。。

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回复 19# kuing

没法。最多人教群里可能在，但基本都是潜水。。。。

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回复 22# hbghlyj

应该是南山菊兄，作图及行文书写风格都是他的。


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纯文本一下：

题：在$\triangle ABC$中，$\angle C=2\angle B$，点$M$在$BC$上且$CM=2BM$，点$D$是$AC$边的中点。
求证：$MD=BM+AD$。

解答 by——我只能说疑似是南山菊兄，风格像，翻到了菁优网的链接

证明

取$\triangle ABC$外接圆的弧$AB$的中点E，
则$AE=BE$，四边形$ABCE$是等腰梯形，
延长$CB$至$F$使$BF=AD$，则$\triangle ADE \cong \triangle BFE(SAS)$，
设$S_{\triangle ECM}=2m,S_{\triangle EAC}=2n$，则$S_{\triangle EBM}=m=S_{\triangle DCM},S_{\triangle EAD}=n$，
$\therefore S_{\triangle EDM}=m+n=S_{\triangle EFM}$，再由$M$到$EF$与$ED$等距离，进而$\triangle EFM\cong \triangle EDM$，
$\therefore MD=MF=MB+BF=MB+AD$。




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这个角分线证得太过瘾了。
我就卡在这里，完全卡住，动弹不得。


（我以前的想法）

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回复 29# 乌贼

厉害，还有其它解法~

isee

回复 29# 乌贼

原来21#说的就是这个啊

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回复  isee

最近看到你 QQ 空间里讲了斯特瓦尔特定理，那我也来应用一下吧，就是不建系证明 3# 的双曲线 ...
kuing 发表于 2019-7-21 14:46

29#乌贼证了这个命题的逆

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回复 33# 乌贼


$$PG=NG,EG=2DG$$这个与29#左图（大约是5-6行）是一样的，不深思，并不易证。

你的三种证法均是证了两个结论。

33#的本质是，在$\triangle ACE$中，$PN$与$DE$的交点$G$，其实就是$\triangle ACE$的重心，又是等腰$\triangle ACE$，使得$GA=GE$.

也许单独写成引理更合适一些。

特别是构造$$\triangle ADE\sim \triangle NGM,$$这证法就是你乌贼的，独一无二！

看到辅助线后，自己想了想，画了画，花20分钟左右，服了。

isee

回复 33# 乌贼

29#33#乌贼进步了，把四点共圆用得纯熟.......

isee

回复 37# 乌贼

简化了很多，从共圆变成相似形。
也很厉害。

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回复  hbghlyj
这里求证：$ ED,EM $分别平分$ \angle ADM,\angle BMD $
   
证明：因$ \angle CEF=\angle  ...
乌贼 发表于 2019-8-14 22:04

$E$，$D$，$F$三点为什么共线？用的同一法？

isee

回复  hbghlyj
这里求证：$ ED,EM $分别平分$ \angle ADM,\angle BMD $
   
证明：因$ \angle CEF=\angle  ...
乌贼 发表于 2019-8-14 22:04

又想出个内心$G$，同时也解答了，我要的旁心$E$！

这个点$F$的出现，原为重心，却功成身退，妙不可言。

isee

回复 43# 乌贼
点F是旁心吧？

这个引理是多余的，点G是内心了，DF是外角平分线，点F自然是旁心了。