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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 三角形ABC中,角B=2角C,中点和三等分点,证线段和相等.
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郝酒
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发表于 2019-7-19 15:39
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[几何]
三角形ABC中,角B=2角C,中点和三等分点,证线段和相等.
$\triangle ABC$ 中,$\angle C=2\angle B$,$M$ 在 $BC$ 上,且 $CM=2BM$,$D$ 是 $AC$ 边中点。
求证:$MD=BM+AD$。
2019-8-2 14:26
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发表于 2019-7-20 10:16
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从纯几何角度来说,这个2倍角,不好用。
那就直接解三角形好了,设$MC=2a,CD=b,\angle B=x$。
由$C=2B$,熟知$$AB^2=2b(2b+3a),$$(这个熟知
借用的
2#,不过,这个也不难证,无论是平几,还是三角……),除边关系外,还有一个角关系.
即,由正弦定理$$\frac {2b}{\sin x}=\frac {AB}{\sin 2x}\Rightarrow \cos x=\frac {AB}{4b}\Rightarrow \cos 2x=\frac {3a-2b}{4b}.$$
于是在$\triangle DCM$中由余弦定理,$$MD^2=b^2+2a^2-2\cdot b\cdot 2a\cdot \cos 2x=\ldots=b^2+2ab+a^2.$$
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发表于 2019-7-20 15:51
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WoCao!我突然知道这题是怎么出的了,事关我想起了,两倍角的时候轨迹恰好是双曲线(
课本习题出过
),并且那两点还是双曲线的顶点和焦点,具体如下。
不妨设 `B(-1,0)`, `C(2,0)`, `A(x,y)`,则
\[\frac y{2-x}=\tan C=\tan2B=\frac{2\tan B}{1-\tan^2B}=\frac{\frac{2y}{x+1}}{1-\frac{y^2}{(x+1)^2}},\]化简得
\[x^2-\frac{y^2}3=1,\]由此可见,恰好有:`B` 为左顶点,`C` 为右焦点,而题目设定的点 `M` 就是原点,那么再记左焦点为 `F`,如下图:
2019-7-20 15:50
则由中位线及双曲线定义,有
\[MD=\frac12FA=\frac12(2a+AC)=BM+AD.\]
PS、也就两倍角时才是双曲线,其他倍角就不是了,见《撸题集》P195~196 题目 2.2.11。
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发表于 2019-7-20 18:44
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kuing
看看乌贼能不能整合一个平几方法出来~这个脑洞意料之外,但合情合理。
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发表于 2019-7-21 14:46
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isee
最近看到你 QQ 空间里讲了斯特瓦尔特定理,那我也来应用一下吧,就是不建系证明 3# 的双曲线结论。
命题:如左图,`\triangle AFC` 中,`B` 在 `FC` 上,满足 `FB=a`, `BC=3a`,且 `\angle C=2\angle ABC`,则 `AF-AC=2a`。
2019-7-21 14:45
2019-7-21 14:45
证明:先证明 `AB^2=AC(AC+CB)`,如右图,延长 `AC` 至 `D` 使 `CD=CB`,则 `\angle D=\angle C/2=\angle ABC`,故 `\triangle ABC\sim\triangle ADB`,从而 `AB^2=AC\cdot AD=AC(AC+CB)`。
于是,由斯特瓦尔特定理,得
\[4a\cdot AC(AC+3a)=a\cdot AC^2+3a\cdot AF^2-a\cdot3a\cdot4a,\]化简得
\[AF^2=(AC+2a)^2,\]即得证。
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发表于 2019-7-21 22:52
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kuing
这也是一个方向,不过,这样两部分是割裂的,有些奇怪。
所以,不如直接Stewar定理到底,即,延长BC至D,连接AD,在等腰三角形ABD中,(那个由2倍角得到的边关系即是特殊情况下的Stewart定理)有$$AB^2=AC^2+BC\cdot CD=AC^2+BC\cdot AC.$$
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发表于 2019-7-22 01:54
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哪的题,不好弄……等价于矩形$ GEFG $中,$ B,H $分别为$ FM,GM$的中点,$\angle ABC=\dfrac{1}{2}\angle ACB $,求证:$ FH\perp AH $
2019-7-22 01:54
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发表于 2019-7-30 00:34
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本帖最后由 乌贼 于 2019-8-2 13:27 编辑
先上一引理:$ \triangle CEF $中,$ CE=2EF $,$ GQ $为$ CF $的垂直平分线,$ FE $的延长线交$ GQ $于$ Q $,$ GQ $交$ \triangle CEF $的外接圆于$ N $,$ M $为$ CE $中点,$ P $为$ CM $中点。求证:$ MN\px PQ $且$ \angle FME=\angle EMN $
2019-7-30 00:34
2019-7-30 00:34
证明:延长$ FM $交园于$ K $点。有\[ \triangle MEN\cong \triangle MCK\riff \angle FME=\angle CMK=\angle EMN \]$ EN $为$ \angle HEQ $的角平分线,所以\[ \dfrac{HN}{NQ}=\dfrac{EH}{EQ}=\dfrac{HM}{MG}=\dfrac{HM}{MP}\riff MN\px PQ \]
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发表于 2019-7-30 00:49
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本帖最后由 乌贼 于 2019-7-30 00:56 编辑
回到原题。如图示,把题中$ \triangle ABC $放入引理图中
2019-7-30 00:56
延长$ AB $交$ EQ $于$ H $,知$ EH=\dfrac{1}{3}AC $,故$ EQ=AC $,$ ACQE $为平行四边形。所以\[ 2DM=AE=CQ=FQ =EM+AC\]
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发表于 2019-7-30 11:40
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本帖最后由 isee 于 2019-7-30 11:42 编辑
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乌贼
一个笔误:
$\triangle MEN\cong \triangle {\color{red}N}CK$中的点$N$应该是点${\color{red}M}$ .
其次点$H$没有交待,$GQ$与$EC$的交点.
最后,第一步中的两个全等三角形我看了好久,结合中垂直线,发现弧$EN$=弧$KC$,有点难.
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9#
乌贼
厉害,引理将二倍角条件发挥了“强大”的作用,这方法只属于乌贼你啊,学习30~50分钟,才完全明白。一度想放弃,线多,角关系也多。
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发表于 2019-7-30 12:33
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isee
我也是看了好久才反应过来
感觉我看乌贼写几何题,可能就像你们看我写不等式题一样,完全跟不上节奏
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乌贼
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发表于 2019-7-30 12:52
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只看该作者
不用引理,直接证明就复杂了
,不知楼主有没有简洁方法。
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本帖最后由 乌贼 于 2019-7-30 12:59 编辑
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isee
$H$为$AB$延长线与$EQ$的交点啊,且$ \angle EBH=\angle FME=\angle EMN $
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乌贼
他说的是引理的证明里面的中间那个点。
2019-8-1 14:08
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发表于 2019-7-30 13:09
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isee
$ \angle FKN=\dfrac{1}{2}\angle MEQ=\angle FME\riff KN\px CE\riff EN=CK $
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乌贼
是啊,事实上有三组平行。
原来是用圆内接四边形外角等于内对角啊。
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kuing
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乌贼
除去平几法与解析法,5#+6#的硬算也是相当自然的。
如果0.1,tzhp6666,南山菊,无业游民或M大等等等人教BBS哪一批神手——在这里的话——可惜不在——应该可能吧,会有非常巧的偏少的辅助线。
其实,能有个平几法已然不错了,你这个,把2倍角这么用,我还是头次见。。。。。。
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发表于 2019-7-30 15:43
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乌贼
楼主一般好久才来一次,只望下次来的时候还记得这帖
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kuing
没法。最多人教群里可能在,但基本都是潜水。。。。
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