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嗨,想起一贴 http://kuing.orzweb.net/viewthre ... amp;extra=page%3D10
只要证明$ 2FD=BD $即可,证明又见贴中贴 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=3399
唉,瞎忙一阵……

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回复 20# isee
您说的是这位老师吗?我在菁优网总共提的几十道几何题基本都是他答的。
这是今天上午我提的三个问题。他当天答的。佩服佩服。
Screenshot_2019_0731_215820.jpg
2019-8-2 14:15

Screenshot_2019_0731_220159.jpg
2019-8-2 14:15

Screenshot_2019_0731_215412.jpg
2019-8-2 14:15

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回复 4# isee
转载自菁优网问答:
share(1).jpg
2019-8-2 14:20

share.jpg
2019-8-2 14:20

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我想问的是:
ΔABC中,M在线段BC上,D在线段AC上,问点M、D满足什么条件时,等式MD=BM+AD恒成立?
(不必追求充要条件,能够列举出一些充分条件也可)

如果必要,除了点M、D满足什么条件,再加上ΔABC还需满足什么条件时,有等式MD=BM+AD恒成立?
(不必追求充要条件,能够列举出一些充分条件也可)
blog10.png
2019-7-31 23:56
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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本帖最后由 isee 于 2019-8-2 13:57 编辑

回复 22# hbghlyj

应该是南山菊兄,作图及行文书写风格都是他的。


=====================


纯文本一下:

题:在$\triangle ABC$中,$\angle C=2\angle B$,点$M$在$BC$上且$CM=2BM$,点$D$是$AC$边的中点。
求证:$MD=BM+AD$。

解答 by——我只能说疑似是南山菊兄,风格像,翻到了菁优网的链接

证明

取$\triangle ABC$外接圆的弧$AB$的中点E,
则$AE=BE$,四边形$ABCE$是等腰梯形,
延长$CB$至$F$使$BF=AD$,则$\triangle ADE \cong \triangle BFE(SAS)$,
设$S_{\triangle ECM}=2m,S_{\triangle EAC}=2n$,则$S_{\triangle EBM}=m=S_{\triangle DCM},S_{\triangle EAD}=n$,
$\therefore S_{\triangle EDM}=m+n=S_{\triangle EFM}$,再由$M$到$EF$与$ED$等距离,进而$\triangle EFM\cong \triangle EDM$,
$\therefore MD=MF=MB+BF=MB+AD$。




=========================



这个角分线证得太过瘾了。
我就卡在这里,完全卡住,动弹不得。


(我以前的想法)
l-a.jpg

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回复 25# isee
通过面积证全等,见过没用过
另似乎得用上园

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回复 14# 删广告专用
引理中的这个点证明过程中没用上它,不用交代。也与$ H $点不搭边,$ H $是$ AB $延长线与$ EQ $的交点。

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回复 25# isee

南山菊一向用红色字体,正如 22#,但 23# 的对本题的几何证明并不是啊。

PS、那个几何证明的确乃思。
PS2、为节约空间及位置,对 22# 的图片作了裁剪及缩小处理。

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先证点$ P $三等分$ CG $,如左图
211.png
2019-8-13 02:52

作$ \angle ACB $的角平分线$ CG $交$ AB $于$ G $。$ \triangle BCG $的外接圆$ O $,$ F $为$ BG $中点,$ P $为$ CG $与$ AO $的交点,$ Q $为$ OG $与$ CF $的交点。因$ OFAC $四点共园有\[ \angle OPC=\angle PCA+\angle PAC=\angle QOF+\angle QFO=\angle OQC \]故$ OQPC $四点共园,所以\[ \angle QPO=\angle QCO=\angle FAO\riff AB\px PQ \]易证$ CQ=2FQ $,所以\[ CP=2PG \riff PM\px AB\riff \angle PMC=\angle PCM\]
由右图,作园$ O $的另一切点$ N $并延长$ AN $交$ CB $延长线于$ E $,有\[ \angle ANP=\angle ACP=\angle PCE \]即$ NPCE $四点共园,又\[ PN=PC \riff \angle NEP=\angle CEP\]加之\[ \angle ANP=\angle PCM=\angle PMC \]得\[ \triangle PME\cong \triangle PNE\riff EN=EM \]令$ BM=a,EB=b $,有\[ EN^2=EB\cdot EC\\(a+b)^2=b(b+3a)\riff a=b \]综上\[ 2DM=AE=AN+NE=AC+EM=2(BM+AD) \]
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回复 29# 乌贼

厉害,还有其它解法~

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回复 29# 乌贼

原来21#说的就是这个啊

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回复  isee

最近看到你 QQ 空间里讲了斯特瓦尔特定理,那我也来应用一下吧,就是不建系证明 3# 的双曲线 ...
kuing 发表于 2019-7-21 14:46

29#乌贼证了这个命题的逆

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回复 32# isee
又来了,如图:
                  
211.png
2019-8-14 02:02

    延长$ BC $至$ E $,使$ CE=AC,MP\px AB,PN\px AE $,$ P,N $分别在$ AC,CE $上,$ G $为$ PN $与$ DE $的交点,延长$ MG $交$ AE $于点$ F $。
易证\[ PG=NG\\EG=2DG \]令$ \angle ABC=\theta  $  有\[ \triangle ADE\sim \triangle NGM\riff \angle AED=\angle NMG\riff \angle CDG=\angle AED+\theta =\angle NMG+\theta =\angle AFG \]得点$ AFGD $四点共园,有\[ \angle GDF=\angle GAF=\angle DEF=\angle FME \]因此有   $ DF=EF $,且点$ DFEM $四点共园,故\[ \angle DMF=\angle EMF \]在$ \triangle MDE $中,由角平分线定理得\[ \dfrac{ME}{MD}=\dfrac{EG}{DG}=2 \]
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    • isee: 连续深度研习威望 + 1

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回复 33# 乌贼


$$PG=NG,EG=2DG$$这个与29#左图(大约是5-6行)是一样的,不深思,并不易证。

你的三种证法均是证了两个结论。

33#的本质是,在$\triangle ACE$中,$PN$与$DE$的交点$G$,其实就是$\triangle ACE$的重心,又是等腰$\triangle ACE$,使得$GA=GE$.

也许单独写成引理更合适一些。

特别是构造$$\triangle ADE\sim \triangle NGM,$$这证法就是你乌贼的,独一无二!

看到辅助线后,自己想了想,画了画,花20分钟左右,服了。

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回复 33# 乌贼

29#33#乌贼进步了,把四点共圆用得纯熟.......

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回复 34# isee
个人这样定义引理:等腰$ \triangle ABC,AB=AC,D $在$ BC $上且$ AD=CD,E $在$ AD $上且$ DE=3AE ,F $为$ AC $中点。求证:$ \angle EBC $的角平分线为$ BF $。
  
212.png
2019-8-14 13:54
211.png
2019-8-14 13:55

证明:
   如图延长$ EF $交$ BC $延长线于$ N ,$作$ NM\px AC $交$ DA $延长线于$ M, $延长$ BF $交$ MN $于$ P $。
   易证点$ F $为$ \triangle DMN $的重心,有\[ \triangle EMN\sim \triangle FCB\riff \angle ENM=\angle FBC\riff \angle DEF=\angle BFA=\angle FPM \]得$ EFPM $四点共园,因此\[ \angle FEP=\angle FMP=\angle FNP=\angle PBN \]由$ PEBN $四点共园且$ PE=PN $知\[ \angle EBF=\angle FBC \]
另借楼主帖子待续……

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本帖最后由 乌贼 于 2019-8-14 23:36 编辑

回复 36# 乌贼
211.png
2019-8-14 21:15

唉……由图\[ \triangle ADC\sim \triangle CAB\riff \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{CA}{CB}\riff \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{CF}{CB}\riff \triangle AEF\sim \triangle CFB\\\riff\begin{cases}
\angle AFE=\angle CBF
\riff \angle EFB=\angle FCB\\\dfrac{EF}{AF}=\dfrac{BF}{BC}\riff \dfrac{EF}{FC}=\dfrac{BF}{BC}
\end{cases}\\\riff \triangle EFB\sim \triangle FCB\riff \angle EBF=\angle FBC\]
补充个证法
212.png
2019-8-14 23:36

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回复 23# hbghlyj
这里求证:$ ED,EM $分别平分$ \angle ADM,\angle BMD $
   
211.png
2019-8-14 22:04

证明:因$ \angle CEF=\angle PFD, $由引理得,点$ EDGM $及点$ EFCM $四点共园,又$ \angle ECF=90\du  $。所以\[ \angle EDG=\angle EMG=\angle ECF=90\du  \]再根据三角形内角平分线定理知\[ \angle MDG=\angle CDG\]及\[ \angle DMG=\angle CMG \]所以\[ \angle EDA=\angle EDM\\\angle EMB=\angle EMD \]
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回复 37# 乌贼

简化了很多,从共圆变成相似形。
也很厉害。

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回复  hbghlyj
这里求证:$ ED,EM $分别平分$ \angle ADM,\angle BMD $
   
证明:因$ \angle CEF=\angle  ...
乌贼 发表于 2019-8-14 22:04

$E$,$D$,$F$三点为什么共线?用的同一法?

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