[不等式] 求教SOS证法

Shiki

对正实数$a,b,c$，证明：
$$\sum \frac {a^2}{b^2+c^2} \geqslant \sum \frac {a}{b+c}$$

kuing

一定要 SOS 吗？

PS、在《撸题集》P.294 题目 3.1.64 我证明过关于那个指数是递增的。

Shiki

回复 2# kuing

最近正在学习此法

kuing

SOS 还真是刚刚好：
\begin{align*}
\sum\left( \frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac a{b+c} \right)&=\sum\frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^2+c^2)(b+c)}\\
&=\sum\left( \frac{ab(a-b)}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{ba(b-a)}{(c^2+a^2)(c+a)} \right)\\
&=\sum\frac{ab(a-b)^2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(b^2+c^2)(b+c)(c^2+a^2)(c+a)}.
\end{align*}

Shiki

回复 4# kuing

k神牛B！请问您打草稿是写$\sum$还是逐项写下来？

kuing

没想到，这样的 SOS 同样适用于《撸题集》里的一般指数命题：
\begin{align*}
&\sum\left( \frac{a^m}{b^m+c^m}-\frac{a^n}{b^n+c^n} \right)\\
={}&\sum\frac{a^nb^n(a^{m-n}-b^{m-n})+a^nc^n(a^{m-n}-c^{m-n})}{(b^m+c^m)(b^n+c^n)}\\
={}&\sum\left( \frac{a^nb^n(a^{m-n}-b^{m-n})}{(b^m+c^m)(b^n+c^n)}+\frac{b^na^n(b^{m-n}-a^{m-n})}{(c^m+a^m)(c^n+a^n)} \right)\\
={}&\sum\frac{a^nb^n(a^{m-n}-b^{m-n})\bigl(a^{m+n}-b^{m+n}+(a^m-b^m)c^n+(a^n-b^n)c^m\bigr)}{(b^m+c^m)(b^n+c^n)(c^m+a^m)(c^n+a^n)},
\end{align*}那么，当 `m\geqslant n\geqslant 0` 时，就有 `(a^{m-n}-b^{m-n})(a^{m+n}-b^{m+n})\geqslant0`, `(a^{m-n}-b^{m-n})(a^m-b^m)\geqslant0`, `(a^{m-n}-b^{m-n})(a^n-b^n)\geqslant0`，从而上式非负，所以
\[\sum\frac{a^m}{b^m+c^m}\geqslant\sum\frac{a^n}{b^n+c^n}.\]

kuing

回复 5# Shiki

初学时还会写出来看着，后来一般都直接写 `\sum` 啊……

Shiki

回复 7# kuing

我有时全写下来也看不出有什么联系

kuing

回复 8# Shiki

玩熟了就好。

Shiki

回复 4# kuing

刚才突然发现鲁题集的aops链接里已给出了SOS证法0.0

kuing

回复 10# Shiki

好吧，我也没点链接看了，不过那里也只得个结果，没变形过程……
而且也没有一般指数的