[几何] 其外接圆半径是内切圆直径证等边三角形

isee

若三角形外接圆的半径等于内切圆的直径，求证：此三角形为等边三角形。

kuing

\begin{align*}
R-2r&=\frac{abc}{4S}-\frac{4S}{a+b+c}\\
&=\frac1{4S}\left( abc-\frac{16S^2}{a+b+c} \right)\\
&=\frac1{4S}\bigl( abc-(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \bigr),
\end{align*}最后这条式子你认识的吧？

isee

回复 2# kuing


舒尔不等式（Schur's inequality) 最特殊情况，（这个角度）这么一看，此题(对新手)难度相当大啊。。。。。

kuing

回复 3# isee

对新手，直接让他证明 schur 不等式反而难，现在这个形式才好证，况且已经是三边，都不用讨论括号的正负问题了，直接均值就行。