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[函数] 一道会考函数

2QBT52S_64_GLEDU0`0`Q.png
2019-7-3 21:54
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a=2/3  b=4/3 取得最小值8/3

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回复 2# facebooker

怎么解析呢?
根据题意易得 | a+|x-b| |≥  | |x|-2|x-1| |,如何来解呢?

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回复 3# 走走看看


    左右分别画函数图象?

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回复 3# 走走看看

不会啊 如果会做 我早写了。。。

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回复 4# realnumber

嗯,图形并不难画,无非就是下面两种情况:
`a\geqslant0` 的 V 型:
QQ截图20190705173030.png
2019-7-5 18:03

`a<0` 的 W 型:
QQ截图20190705173125.png
2019-7-5 18:03

明显后者是不可能恒成立的,所以只有前者,这样就能看出肯定有 a+b>=2,那么再用柯西 (1/2+1)(2a^2+b^2)>=... 就知道结果了。

当然,以上的看图说话只是分析时用,实际写装逼解答时当然不能提这些,而是去凑不等式。

这题的凑比以往的还简单,我们的目标是要凑出 a+b>=2,而这只要目测就能发现代入 x=0 立马就有了!于是解答过程如下。

解:因为当 `x=0` 时成立,所以 $\bigl|a+\abs b\bigr|\geqslant2$,于是
\[
4\leqslant(a+\abs b)^2
\leqslant\left(\frac12+1\right)(2a^2+b^2),
\]即得 `2a^2+b^2\geqslant8/3`。

最后,当然还需要验证取等,也就是证明如下不等式的确是恒成立的
\[
\frac23+\left|x-\frac43\right|\geqslant\bigl|\abs x-2\abs{x-1}\bigr|,
\]通过分类讨论总能证出来,我就懒得写了……

反正基本套路还是那样——通过图形先猜出结果,再凑不等式,最近我都扯过几次了,像:
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6246
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6127
1

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$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 6# kuing
两种方法。牛。

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