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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一道会考函数
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hjfmhh
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发表于 2019-7-3 21:55
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[函数]
一道会考函数
2019-7-3 21:54
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发表于 2019-7-4 01:39
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a=2/3 b=4/3 取得最小值8/3
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走走看看
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发表于 2019-7-5 07:05
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facebooker
怎么解析呢?
根据题意易得 | a+|x-b| |≥ | |x|-2|x-1| |,如何来解呢?
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realnumber
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发表于 2019-7-5 07:21
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走走看看
左右分别画函数图象?
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facebooker
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发表于 2019-7-5 16:55
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走走看看
不会啊 如果会做 我早写了。。。
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kuing
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发表于 2019-7-5 18:03
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realnumber
嗯,图形并不难画,无非就是下面两种情况:
`a\geqslant0` 的 V 型:
2019-7-5 18:03
`a<0` 的 W 型:
2019-7-5 18:03
明显后者是不可能恒成立的,所以只有前者,这样就能看出肯定有 a+b>=2,那么再用柯西 (1/2+1)(2a^2+b^2)>=... 就知道结果了。
当然,以上的看图说话只是分析时用,实际写装逼解答时当然不能提这些,而是去凑不等式。
这题的凑比以往的还简单,我们的目标是要凑出 a+b>=2,而这只要目测就能发现代入 x=0 立马就有了!于是解答过程如下。
解:因为当 `x=0` 时成立,所以 $\bigl|a+\abs b\bigr|\geqslant2$,于是
\[
4\leqslant(a+\abs b)^2
\leqslant\left(\frac12+1\right)(2a^2+b^2),
\]即得 `2a^2+b^2\geqslant8/3`。
最后,当然还需要验证取等,也就是证明如下不等式的确是恒成立的
\[
\frac23+\left|x-\frac43\right|\geqslant\bigl|\abs x-2\abs{x-1}\bigr|,
\]通过分类讨论总能证出来,我就懒得写了……
反正基本套路还是那样——通过图形先猜出结果,再凑不等式,最近我都扯过几次了,像:
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6246
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6127
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发表于 2020-7-4 07:45
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kuing
两种方法。牛。
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