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[不等式] 看似简洁的不等式

本帖最后由 Shiki 于 2019-7-3 20:54 编辑

$a,b,c \in R$
求证:
$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geqslant 3(a+b+c)^2$


$a,b,c \in R_+$
求证:
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} \geqslant 1$
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0.0

对于第一题,印象中在计神的代数不等式里有以下较弱式
$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geqslant 9(ab+bc+ca)$

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第一个使用无需动脑的判别式法即可

另外,N年前我还给出过多元推广:
QQ截图20190703210724.png
2019-7-3 21:08

你也可以试试看(所以先不给出处
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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第二题也是经典老题(虽然出处忘了),好像是用 holder 或者权方和就行……

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回复 3# kuing

看来没人鸟,说出处:《数学空间》2011 年第 2 期 P.37~38

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老大 现在还能下载到空间吗 人教论坛都没了啊

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回复 6# facebooker

《数学空间》的页面还能访问啊,本论坛首页的友情链接里就有链接,就是进入每期里的页面有点卡,但最下方的下载还是OK的

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回复 6# facebooker

算了,我还是打个包给你们下吧:
人教网刊《数学空间》全1~17期(可打印)PDF打包下载.zip
链接:https://pan.baidu.com/s/1RUuD69oS4y2w2jaoI0EEfg
提取码:kbi6

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多谢多谢。

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回复 8# kuing


    谢谢谢谢

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回复 4# kuing


    Holder或Jensen都可以。

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blog15.png
2019-7-17 00:08
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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本帖最后由 isee 于 2019-7-17 09:42 编辑

回复 12# 其妙


这个$$(b^2+2)(c^2+2)\geqslant \frac 32(b+c)^2+3$$就像几何中“巧得来的"辅助线一样,打开局面。

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本帖最后由 isee 于 2019-7-17 10:00 编辑

回复 1# Shiki


    第2题,在《数学奥林匹克不等式研究(数学·统计学系列)》杨学枝著,第5页
2001ineq.jpg

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本帖最后由 isee 于 2019-7-17 10:32 编辑

回复 14# isee

以上证明我是不想去搞明白的(主要是当时明白,过两天就忘记了),走马观个花而已,在《代数不等式》陈计中第38页,有


2001ineq.jpg
2019-7-17 10:18



但这个证明技巧性强,还用了下反证,应该是深思的结果。



同时,在第63页有


2001ineq02.jpg
2019-7-17 10:21



也不是好啃的。


这个题,陈计真是喜欢,之后 还有反复出现,例,练习,均有,没兴趣,不截上来了。

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回复 1# Shiki


第一个,在    代数不等式》陈计中  第79页也有,且是12#的方法,且变也推广与加强。

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