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回复 19# 其妙

第1个,令 `f(\lambda)=\text{左边}-\text{右边}`,下面证明关于 `\lambda` 递增,求导整理配方可得
\[f'(\lambda)=(2\lambda+3)\bigl((a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\bigr)+(ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2\geqslant0,\]这样就可以直接扔掉这个 `\lambda` 了……

当然,没有 `\lambda` 的原题怎么证的我还没看到……

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回复 21# kuing

有了,还不小心又得到了加强式,下面证明:当 `a`, `b`, `c\geqslant0` 时有
\[(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geqslant3(a+b+c)^2+(abc-1)^2+2\sum(ab-1)^2.\]

证明:由于 `a`, `b`, `c` 中必有两个同时 `\geqslant1` 或同时 `\leqslant1`,故可不妨设 `(a-1)(b-1)\geqslant0`,则
\[\text{左边}-\text{右边}=2c(a-1)(b-1)+(a-b)^2+(c-1)^2\geqslant0.\]

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牛笔!厉害!

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