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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 圆过定点,是否有特定背景?
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Tesla35
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发表于 2019-6-24 22:47
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[几何]
圆过定点,是否有特定背景?
在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A(-3,4),B(9,0)$,若$C,D$为线段$OA,OB$上的动点,且满足$AC=BD$.
(1)若$AC=4$,求直线$CD$的方程;
(2)证明:$\triangle OCD$的外接圆恒过定点(异于原点$O$).
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kuing
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发表于 2019-6-24 23:44
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命题可以这样写吧:
动点 `C`, `D` 在给定的 `\angle O` 的两边上,且满足 `OD-OC` 为定值,则 `\triangle OCD` 的外接圆过异于 `O` 的定点。
2019-6-24 23:44
证明:如图,在 `OD` 上取 `E` 使 `OE=OC`,`CE` 交外接圆于 `F`,易见 `\triangle DEF` 为等腰三角形且顶角等于给定的 `\angle O`,又 `OD-OC` 为定值即 `DE` 为定值,可见 `\triangle DEF` 的大小形状是不变的。
然后,再过 `O` 作 `EF` 的平行线交外接圆于 `G`,易见 `OG=EF`,从而 `G` 为定点,命题得证。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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Tesla35
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发表于 2019-6-24 23:59
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2#
kuing
这么巧妙的吗
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kuing
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发表于 2019-6-25 00:49
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Tesla35
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