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[不等式] $a,b,c\inR^+,a+b+c=3$,求证:$\sum\frac{1}{a^2+ab+b^2}\geqslant 1$

本帖最后由 dahool 于 2019-6-21 19:52 编辑

$a,b,c\inR^+,a+b+c=3$,求证:$$\sum\frac{1}{a^2+ab+b^2}\geqslant 1$$
展开是可以证明,不过有点麻烦,应该有简单的方法吧!没想到,求助!
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我也懒得动手。简单两个字。嘿嘿。多刷题即可。

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回复 2# 敬畏数学


    表示不会,你的简单办法是?

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楼主或者哪位提示一下:这个 a+b+c=3 如何 用?
目标不等式是二次,怎么都联系不上的感觉。

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回复 4# isee

楼主指的不用动脑的证明就是直接对\[\sum\frac1{a^2+ab+b^2}\geqslant\frac9{(a+b+c)^2}\]完全去分母展开,结果是显然的……

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原来是由著名的“伊朗 96”弄出来的……

只要证明
\[(a+b+c)^2\sum\frac1{a^2+ab+b^2}\geqslant4(ab+bc+ca)\sum\frac1{(a+b)^2}\geqslant9,\]右边就是“伊朗 96”,而左边则是因为
\[\frac{(a+b+c)^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)^2}=\frac{(a^2+b^2-ac-bc)^2}{(a^2+ab+b^2)(a+b)^2}.\]

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