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[几何] 一道平面几何题感觉做繁了太多

∠C=90°,∠CED=∠BED=30°,AC=14,BE=3$\sqrt{21}$,求AE
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2019-6-20 18:31

作图中的遇到一个巧合,不知是何缘故:以A为圆心过E的圆和BCE的外接圆的另一交点在AB上
QQ浏览器截图20180909213316.png
2019-6-20 17:57

$\triangle EFB$为等边三角形,$\dfrac{CD}{DQ}=\dfrac{14}{\dfrac{3\sqrt{21}}{2}}=\dfrac{4\sqrt{21}}{9}$
212.png
2019-6-21 01:12

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回复 2# 乌贼
我也想到作等边三角形,ACBQ共圆等等。这样能把方程简化一些。
我觉得题目给的数据就是一个巧合。换个数就是层层根号了。

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回复 1# hbghlyj

我的解法与楼主的法2相同,不过,这个高次方程是如何解的?$$\frac {81\times 7}{4(x^2+9\sqrt{7}x-7)}+\frac{x^2}{28^2}=1.$$

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回复 2# 乌贼


然后怎么办?

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回复 5# isee
令x=√7t,这样就能把系数都变成有理数,然后用有理根定理。
1

评分人数

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本帖最后由 乌贼 于 2019-6-22 20:04 编辑

回复 5# isee
213.png
2019-6-22 19:53

然后:正$ \triangle ABC,AB=a $,$ D $为$ BC $中点,$ F $在$ AB $上,$ FE=KDE,BG\px AD $交$ CF $延长线于$ G $。
令$ DE=x $。有\[ \triangle BGF\sim \triangle AEF\riff\dfrac{GF}{EF}=\dfrac{BG}{AE} \riff\dfrac{\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+x^2}}{Kx}-1=\dfrac{2x}{\dfrac{\sqrt{3}a}{2}-x}\\\riff K=\dfrac{(\dfrac{\sqrt{3}a}{2}-x)\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+x^2}}{(\dfrac{\sqrt{3}a}{2}+x)x}\]回到原题易知$K=\dfrac{28}{3\sqrt{21}}$,然后各种数字运算……求$ x $

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回复 7# 乌贼


    这依然是个四次方程,看来此题很刁

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回复 8# isee
已知$ x $求$ K $就不刁了

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-6-23 23:31 编辑

回复 9# 乌贼
1#的意思是这题的数据是一个巧合,因此可能有更简单的办法.我另作了下图,将AC:BE调整了一点,发现以A为圆心过E的圆和BCE的外接圆的另一交点就不在AB上了.进而发现没有其他位置满足这个条件,AE重合的情形除外.再明确一遍,这题的数据是一个巧合,因此可能利用数据,构造图形,利用这个巧合,得到更简单的办法.
QQ浏览器截图20180909213316.png
2019-6-23 23:01

我们另举一经典几何题为例:已知凸四边形ABCD的各边和一角,求较长的对角线的长度.这个题需用余弦定理算出给定角所对的对角线,再算它和其他边成的角,再用余弦定理求出第二条对角线,然后再比较.
但是我们给出数据AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,∠B=90°,这道题轰然塌缩成初中填空题:我们利用数据的巧合,连接AC(上面所说的构造图形),由勾股定理,AC=5,由勾股逆定理,∠ACD=90°(上面所说的利用数据的巧合),然后由D作BC垂线DH,利用相似求出$CH=\frac{36}5,DH=\frac{48}5$再由勾股定理即可求出$BD=\frac85\sqrt{85}$
QQ浏览器截图20180909213316.png
2019-6-23 23:12

以上是我个人的见解,希望见到简单的办法

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