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[几何] 旋转问题 天旋地转了

直线$l:3x+4y=6$,椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$.将椭圆C绕其中心O逆时针旋转$90^。$到与椭圆$C^1,\frac{y^2}{4}+x^2=1$重合。旋转过程中椭圆C与直线$l$交于A、B两点,则|AB|的最大值___
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等价于以原点为圆心与直线相切的圆的切线与椭圆的截线长度。

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谢谢 似乎知道咋做了

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反客为主,不旋转椭圆,而反过来旋转直线。

不过似乎还是需要繁琐的计算……

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所以不算

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回复 5# 乌贼

哈哈哈

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你们太坏了 给我算一下吧。我的思路是用三角形面积算 设出AB的坐标 三角形面积可以用坐标式表达 一步就出答案了我主要是觉得心里没底 因为要验证的话计算量有点大 不验证吧 心里没底。咋整好呢

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又来玩一下速度分解……
捕获.PNG
2019-6-20 19:52

作如图所示的速度分解,有
\[\frac{v_{Ax}}{v_{Bx}}=\frac{v_{Ay}\cot\angle QAB}{v_{By}\cot\angle QBA}=\frac{PA\tan\angle RAB}{PB\tan\angle RBA},\]如果 `AB` 在旋转过程内取最值,则取最值时必有 `v_{Ax}=v_{Bx}`,即 `PA\tan\angle RAB=PB\tan\angle RBA`,由此可得 `RP\perp AB`,也就是说,`A`, `B`, `P` 三处的法线共点是旋转过程内 `AB` 取最值的必要条件。

然并卵……
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你们太坏了 给我算一下吧。我的思路是用三角形面积算 设出AB的坐标 三角形面积可以用坐标式表达 一步就出答 ...
facebooker 发表于 2019-6-20 19:20

哦,你的意思是这样?:
由于高恒定,底最大等价于面积最大,设 `A(x_1,y_1)`, `B(x_2,y_2)`,则
\[S^2=\left( \frac{x_1y_2-x_2y_1}2 \right)^2\leqslant\left( \frac{x_1^2}4+y_1^2 \right)\left( y_2^2+\frac{x_2^2}4 \right)=1,\]
但是这个等号是否一定能取到,你的疑问就是在这里是吧?

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回复 9# kuing

续:由于只需证明能取等,无需算出具体值,于是可以计算两种简单情况,利用零点定理即可。

上述不等式取等号当且仅当 `x_1x_2+4y_1y_2=0`。

未旋转时,由于直线刚好过椭圆右顶点故 `y_1y_2=0`,又易知 `x_1`, `x_2` 均为正,所以此时 `x_1x_2+4y_1y_2>0`;

当直线旋转到与 `x` 轴垂直时其方程为 `x=6/5`,得 `y_i=\pm4/5`,此时 `x_1x_2+4y_1y_2=36/25-64/25<0`。

那么,在此其间,必存在一瞬间使 `x_1x_2+4y_1y_2=0`,所以等号一定能取到,因此 `S` 的最大值为 `1`,从而 `AB` 的最大值就是 `2/(6/5)=5/3`。


原问题解决了,但留下的问题就是,如果改变数据,比如将圆变大,9# 的不等式就未必能等,于是自然要问:对于一般情况,要满足什么条件才能确保那不等式能够取等?
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回复 10# kuing

续续:噢,有了,用伸缩变换,变成椭圆上的动切线与圆相交得到的三角形面积,这就比较容易判断,计算一下点到直线的距离就行……

设椭圆 `\Gamma`: `x^2+k^2y^2=a^2`,圆 `O`: `x^2+y^2=r^2`,其中 `a`, `r>0`, `k>1`,直线 `l` 与圆 `O` 相切且交椭圆 `\Gamma` 于 `A`, `B`,记 $\S{OAB}=S$。

现在,沿 `y` 轴方向拉伸至 `k` 倍,那么椭圆 `\Gamma` 变成圆 `\Gamma'`: `x^2+y^2=a^2`,而圆 `O` 则变为椭圆 `O'`: `x^2+y^2/k^2=r^2`,此时三角形变为等腰 `\triangle O'A'B'`,记 $\S{O'A'B'}=S'$,则 `S'=kS`。

设直线与椭圆 `O'` 切于 `(r\cos t,kr\sin t)`,则切线方程为 `x\cos t+(y\sin t)/k=r`,那么 `O'` 到此切线的距离为
\[d=\frac r{\sqrt{\cos^2t+\frac1{k^2}\sin^2t}},\]它关于 `\sin^2t` 递增,也就是说,切点离 `x` 轴越远 `d` 越大,于是就可以根据实际情况得出 `d` 范围,然后用 `S'=d\sqrt{a^2-d^2}` 计算 `S'` 的范围,即得 `S` 的范围及 `AB` 的范围。

如果 `t` 能任意取,则 `d\in[r,kr]`,这样就比较简单,而像 1# 的题那样,做点计算应该也很容易判断,时间关系就懒得扯了……

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佩服大佬。感谢大佬。 我就不行 做完题也不会多思考 所以感觉题做不少一点进步没有

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