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[函数] 三角求值

三角求值:$\dfrac{1}{1-cos\dfrac{\pi}{9}}+\dfrac{1}{1-cos\dfrac{5\pi}{9}}+\dfrac{1}{1-cos\dfrac{7\pi}{9}}$
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记 `x=\cos(\pi/9)`, `y=\cos(5\pi/9)`, `z=\cos(7\pi/9)`,
用和差化积易证 `x+y+z=0`,
用积化和差易证 `xy+yz+zx=-3/4`,
用(不知叫什么名称,就是乘个东西连续产生倍角最后又约掉的那个啥方法)易证 `xyz=1/8`,下略。
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本帖最后由 hejoseph 于 2019-6-21 08:54 编辑

令 $x_k=\cos(2k\pi/9)+i\sin(2k\pi/9)$,其中 $k=1,2,3,4,5,6,7,8$,则 $x_k$ 是 $x^9-1=0$ 的根。
因为 $x^9-1=(x^3-1)(x^6+x^3+1)$,当 $k=0,3,6$ 时 $x_k$ 是 $x_k$ 是 $x^3-1=0$ 的根,所以 $k=1,2,4,5,7,8$ 时 $x_k$ 是 $x_k$ 是 $x^6+x^3+1=0$ 的根。
而 $1/x_k=\cos(2k\pi/9)-i\sin(2k\pi/9)$,且
\[
(x^6+x^3+1)/x^3=(x+1/x)^3-3(x+1/x)+1
\]
所以 $k=1,2,4,5,7,8$ 时 $2\cos(2k\pi/9)$ 是 $x^3-3x+1=0$ 的根,即 $\cos(2k\pi/9)$ 是 $8x^3-6x+1=0$ 的根,而 $\cos(\pi/9)=-\cos(8\pi/9)$,$\cos(5\pi/9)=-\cos(4\pi/9)$,$\cos(7\pi/9)=-\cos(2\pi/9)$,所以 $\cos(\pi/9)$、$\cos(5\pi/9)$、$\cos(7\pi/9)$ 是 $8x^3-6x-1=0$ 的根,这样就直接得到上一楼的结论了。
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另外 lemondian 发的帖子函数名都不加反斜杠“\”的,看着就怪怪的。

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回复 4# hejoseph

大把人都不知道要加,我也懒得提了,置顶帖明明说得很清楚。

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本帖最后由 isee 于 2019-6-20 18:13 编辑

回复 5# 爪机专用

我是觉得,多半是知道要加\的,只是实际写时不加\,仅就顶楼的表达式而言,对初学者,稍有些难度的

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回复 3# hejoseph


好久不见这样的复数解题了

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$(x^6+x^3+1)/x^3=(x+1/x)^3-3(x+1/x)+1$
$2\cos(2k\pi/9)$
一定是千锤百炼而来的

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都是好方法,谢谢

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回复 9# lemondian


    你算过最后结果是等于18嘛?

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回复 10# Tesla35
对呀,是18.

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令$\theta=\frac{k\pi}{9},k=1,3,5,7,9$,则$9\theta=k\pi$
$5\theta=k\pi-4\theta$,故有$\cos5\theta=-\cos4\theta$.

$$16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta=-(8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1)$$

$$16\cos^5\theta+8\cos^4\theta-20\cos^3\theta-8\cos^2\theta+5\cos\theta+1=0$$

令$x=\cos\theta$,得
$$16x^5+8x^4-20x^3-8x^2+5x+1=0$$
当$k=3,9$时,$\cos\theta=\frac{1}{2},-1$,因此以上方程有因式$(2x-1)(x+1)$,约去得
$$8x^3-6x-1=0$$

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这里有类似的三次方程的根的链接:

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz ... 3&lang=zh_CN#rd

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