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[不等式] 求证一个不等式

若$a_n=\sqrt{\dfrac{n-1}{n(n+1)}},n\inN^*$,证明:$a_1+a_2+\cdots +a_n<\dfrac{2^{n+1}}{2^n+1}\sqrt{n}<2\sqrt{n}$。
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若$a_n=\sqrt{\dfrac{n-1}{n(n+1)}},n\inN^*$,证明:$a_1+a_2+\cdots +a_n<\dfrac{2^{n+1}}{2^n+1}\sqrt{n}<2\sqrt{n}$。
lemondian 发表于 2019-6-19 19:11
相当无聊的一题啊……首先 `a_1=0`,当 `n\geqslant2` 时显然有
\[a_n<\frac1{\sqrt n}<\frac2{\sqrt n+\sqrt{n-1}}=2\bigl(\sqrt n-\sqrt{n-1}\bigr),\]从而
\[a_1+a_2+\cdots+a_n<2\bigl(\sqrt n-1\bigr),\]故只需证
\[2\bigl(\sqrt n-1\bigr)<\frac{2^{n+1}}{2^n+1}\sqrt n,\]化简即 `2^n+1>\sqrt n`,显然成立。

你看,`a_n` 那复杂的表达式及后面那 `2^n` 啥的完全只是用来吓人,搞成很难的样子但实际上还弱于 `\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}<2(\sqrt n-1)` 这道简单的习题。
(除非是你抄错了题(所以我已经引用了起来))。

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回复 2# kuing
所以高考题的不等式要求真不高。
这是2019全国高考数学(浙江卷)T20不等式的加强,原来没有中间那项的

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回复 3# lemondian

我说我应该是在哪儿见过,只不过,没深入思考,故没什么太大印象。

不过,应当高兴的是,浙江卷的标答,用的是数学归纳法。

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回复 2# kuing

2019年江浙卷第20题的第(2)标答关键步骤也是一样的。部分摘录如下


(2)
${{c}_{n}}=\sqrt{\frac{{{a}_{n}}}{2{{b}_{n}}}}=\sqrt{\frac{2n-2}{2n(n+1)}}=\sqrt{\frac{n-1}{n(n+1)}},n\in {{\mathbf{N}}^{*}}$.
我们用数学归纳法证明.
(i)当$n=1$时,$c_1=0<2$,不等式成立;
(ii)假设$n=k\left( k\in {{\mathbf{N}}^{*}} \right)$时不等式成立,即${{c}_{1}}+{{c}_{2}}+\cdots +{{c}_{k}}<2\sqrt{k}$.
那么,当$n=k+1$时,
${{c}_{1}}+{{c}_{2}}+\cdots +{{c}_{k}}+{{c}_{k+1}}<2\sqrt{k}+\sqrt{\frac{k}{(k+1)(k+2)}}<2\sqrt{k}+\sqrt{\frac{1}{k+1}}$$<2\sqrt{k}+\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=2\sqrt{k}+2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=2\sqrt{k+1}$.
即当$n=k+1$时不等式也成立.
根据(i)和(ii),不等式${{c}_{1}}+{{c}_{2}}+\cdots +{{c}_{n}}<2\sqrt{n}$对任意$n\in {{\mathbf{N}}^{*}}$成立.

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