本帖最后由 hbghlyj 于 2019-8-4 21:07 编辑
(1)在双曲线$y=\frac{k}x$(x>0)上取$A_1,A_2…$,在x轴上取$B_1,B_2...$,使得△$OA_1B_1$,$B_1A_2B_2$...是正三角形,$OB_1$=1,求$A_n$的坐标?
横坐标的递推式应该是$a_{n+1} =\frac12(a_{n} +\sqrt{a_{n}^2+4})$,能不能求出通项?
(2)第一象限内任取一点A,点B在x轴负半轴上运动,x轴正半轴上的动点C满足∠OAB=∠OAC,过B,C作y轴平行线,交双曲线$y=1/x$于F,E,EF的中点为G,F关于E的对称点为H,求证:
Ⅰ.G的轨迹是一条射线,平行于x轴负半轴.
Ⅱ.H的轨迹是双曲线的一支.
我觉得(2)Ⅰ.可以不用坐标计算。等价于以下命题:
给定△ABC的角平分线AD,及其与BC所成的角,则$\frac 1{BD}+\frac 1{CD}$为定值.
(3)已知$\left(3 t, \frac{3}{t}\right)$和$\mathrm{R}\left(-\frac{3}{\mathrm{t}},-3 \mathrm{t}\right)$是双曲线H:xy=9上的两点,其中t≠0,±1.由P,R引H的切线交于Q,引H的法线交于S,证明:存在一个t使得以原点为圆心的圆过PQRS四点 |