[几何] 三道与双曲线有关的问题

hbghlyj

(1)在双曲线$y=\frac{k}x$(x>0)上取$A_1,A_2…$,在x轴上取$B_1,B_2...$,使得△$OA_1B_1$,$B_1A_2B_2$...是正三角形,$OB_1$=1,求$A_n$的坐标?
横坐标的递推式应该是$a_{n+1} =\frac12(a_{n} +\sqrt{a_{n}^2+4})$，能不能求出通项?
(2)第一象限内任取一点A,点B在x轴负半轴上运动,x轴正半轴上的动点C满足∠OAB=∠OAC,过B,C作y轴平行线,交双曲线$y=1/x$于F,E,EF的中点为G,F关于E的对称点为H,求证：
Ⅰ.G的轨迹是一条射线,平行于x轴负半轴.
Ⅱ.H的轨迹是双曲线的一支.

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2019-6-20 12:09

我觉得(2)Ⅰ.可以不用坐标计算。等价于以下命题：
给定△ABC的角平分线AD,及其与BC所成的角,则$\frac 1{BD}+\frac 1{CD}$为定值.

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2019-6-27 12:41

(3)已知$\left(3 t, \frac{3}{t}\right)$和$\mathrm{R}\left(-\frac{3}{\mathrm{t}},-3 \mathrm{t}\right)$是双曲线H:xy=9上的两点,其中t≠0,±1.由P,R引H的切线交于Q,引H的法线交于S,证明:存在一个t使得以原点为圆心的圆过PQRS四点

青青子衿

回复 1# hbghlyj
可以参考这个帖子：
[几何] 求第\(\,n\,\)个点的坐标
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5748

青青子衿

\(a_{n+1} =\dfrac{1}{2}\left(a_{n} +\sqrt{a_{n}^2+4}\,\right)\)
关于这种根号下的递推公式，想起一个帖子
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5591