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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 三角形两个角A=2B
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realnumber
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发表于 2019-6-15 17:43
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[几何]
三角形两个角A=2B
已知三角形ABC三边是a=n+2,c=n+1,b=n,n为整数,是否存在n,使得A=2B.
解答:余弦定理写出cosA,cosB,依次用n=2,3,4代入,发现n=4符合,有没别的办法?
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kuing
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发表于 2019-6-15 17:49
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熟知 `A=2B\iff a^2=b(b+c)`,代入化为 `(n-4)(n+1)=0`……
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isee
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发表于 2019-6-15 18:41
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本帖最后由 isee 于 2019-6-15 19:37 编辑
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realnumber
我算的话,正弦定理+第一余弦定理,最终关于n的二次式与楼上相同
===
由$$A=2B\Rightarrow 2\cos B=\frac {\sin 2A}{\sin B}=\frac{n+2}n,$$另一方面$$c=a\cos B+b\cos A\Rightarrow n+1=(n+2)\cos B+n(2\cos^2B-1),\Rightarrow (n-4)(n+1)=0.$$
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敬畏数学
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发表于 2019-6-15 23:28
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realnumber
套路公式。多记解题就可以秒,没有诀窍。
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