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怎么全是 \\ ……
话说,第一问答案给一下啊

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斜率之和为定值,一搜就有了:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5937

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咦?又多了个斜率之比?没问题,也有:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5384

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昨晚讨论组里的一题:
QQ图片20200307135001.png
2020-3-7 13:52
与楼主的第三题是一样的,也放这里好了。

事实上,可以更一般化一点:
QQ截图20200307140558.png
2020-3-7 14:17

如上图,圆锥曲线 `\Gamma` 的对称轴为 `x` 轴,`M`, `N` 是 `x` 轴上两定点,`\Gamma` 上的弦 `AB` 过 `M`,弦 `AC`, `BD` 过 `N`,则:
(1)直线 `CD` 与 `x` 轴的交点为定点;
(2)直线 `CD` 与 `AB` 的斜率之比为定值。

证明:把图形画成如下图那样。
QQ截图20200307141722.png
2020-3-7 14:17

则 `ST` 是 `N` 的极线,垂直于 `x` 轴,且 `M`, `N`, `P`, `Q` 调和,从而 `P` 是定点,以及 `k_{CD}:k_{AB}=(SQ/QP):(SQ/QM)=QM:QP=MN:NP` 为定值,QED。

回到昨晚讨论组里那题,即 `\Gamma`: `x^2/4+y^2/3=1`,`M` 为原点,`N` 为焦点 `(1,0)`,易知此时 `Q(4,0)` 且 `P(8/5,0)`,所以 `k_{CD}:k_{AB}=1:(8/5-1)=5/3`。

而回到楼主的第三题,即 `\Gamma`: `y^2=4x`, `M(2,0)`, `N(1,0)`,易知此时 `Q(-1,0)` 且 `P(0.5,0)`,所以 `k_{CD}:k_{AB}=1:0.5=2`。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 7# lemondian

那本来就是蝴蝶定理……

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回复 9# lemondian

蝴蝶定理分内外的吗?

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回复 9# lemondian

看这帖吧 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=399 ,帖中 7# 的解析法你应该能看得懂,该证法清楚显示根本没什么内外之分。

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