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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 斜率乘积,斜率和,斜率比值是定值产生定点的背景?
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发表于 2019-6-12 15:28
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怎么全是 \\ ……
话说,第一问答案给一下啊
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发表于 2019-6-12 15:32
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斜率之和为定值,一搜就有了:
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5937
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发表于 2019-6-12 15:37
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斜率之积:
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=626
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发表于 2019-6-12 16:04
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咦?又多了个斜率之比?没问题,也有:
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5384
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发表于 2020-3-7 13:52
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昨晚讨论组里的一题:
2020-3-7 13:52
与楼主的第三题是一样的,也放这里好了。
事实上,可以更一般化一点:
2020-3-7 14:17
如上图,圆锥曲线 `\Gamma` 的对称轴为 `x` 轴,`M`, `N` 是 `x` 轴上两定点,`\Gamma` 上的弦 `AB` 过 `M`,弦 `AC`, `BD` 过 `N`,则:
(1)直线 `CD` 与 `x` 轴的交点为定点;
(2)直线 `CD` 与 `AB` 的斜率之比为定值。
证明:把图形画成如下图那样。
2020-3-7 14:17
则 `ST` 是 `N` 的极线,垂直于 `x` 轴,且 `M`, `N`, `P`, `Q` 调和,从而 `P` 是定点,以及 `k_{CD}:k_{AB}=(SQ/QP):(SQ/QM)=QM:QP=MN:NP` 为定值,QED。
回到昨晚讨论组里那题,即 `\Gamma`: `x^2/4+y^2/3=1`,`M` 为原点,`N` 为焦点 `(1,0)`,易知此时 `Q(4,0)` 且 `P(8/5,0)`,所以 `k_{CD}:k_{AB}=1:(8/5-1)=5/3`。
而回到楼主的第三题,即 `\Gamma`: `y^2=4x`, `M(2,0)`, `N(1,0)`,易知此时 `Q(-1,0)` 且 `P(0.5,0)`,所以 `k_{CD}:k_{AB}=1:0.5=2`。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2020-4-1 13:55
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lemondian
那本来就是蝴蝶定理……
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发表于 2020-4-1 15:45
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9#
lemondian
蝴蝶定理分内外的吗?
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发表于 2020-4-1 18:05
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9#
lemondian
看这帖吧
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=399
,帖中 7# 的解析法你应该能看得懂,该证法清楚显示根本没什么内外之分。
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