[数列] 2019年浙江卷第10题 数列$a_{10}>10$

isee

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2019-6-11 15:58

10．设$a,b\in \mathrm R$，数列${a_n}$中$a_1=a$，$a_{n+1}=a_n^2+b$，$n\in \mathrm N^*$，则 (       )

A．当$b=\frac 12$，$a_{10}>10$   

B．当$b=\frac 14$ ，$a_{10}>10$      

C．当$b=-2$，$a_{10}>10$     

D．当$b=-4$，$a_{10}>10$












































看一眼，就想到个数列能递增，然后就没然后了

kuing

$a_n+1=a_n^22+b$ 这个是什么东西……

isee

回复 2# kuing


  改了，多了个2，少了个下标括号，还是手动输入靠谱些。。。

isee

我发现，我正面强攻 A 真的不会。。。。

这个首项的值特别让我迷茫。。。

查了下，网上现在的解析。。

发现是从反而拿下的，如若$b=\frac 14$，则取$a_1=a=\frac 12$，此时$$a_n=\frac 12<10.$$

我感觉我被骗了~于是$B$是错的。


若取$b=-2$，则取$a=2$，此时，$$a_n=2<10.$$

于是$C$是错的。




若取$b=-4$，则取$a=\frac {1-\sqrt 5}2$，此时，$$a_n=\frac {1-\sqrt 5}2<10.$$

于是$D$是错的。



那就只有A可以选了。

realnumber

A直接算几个就可以的
$a_2\ge 0.5,a_3 \ge 0.75  ,a_4\ge \frac{17}{16}>1,a_5\ge 1.5$
$a_6>\frac{11}{4}>2,a_7>4,a_8>16,a_9>256$

isee

回复 5# realnumber


其实我用计算器算过了，验证A是对的。

想把命题加强为$a_n>n$，我猜测的是可能这个$n=10$是最小的，就没深思考了。

既然A选项时，即取$b=\frac 12$，而易证此时数列是递增的，又由5#知$$a_4>1,$$则，结合对钩函数的单调性$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_n^2+1/2}{a_n}=a_n+\frac 1{2a_n}>1+\frac 12=\frac 32,$$于是$$a_{10}>\frac 32a_9>\left(\frac 32\right)^6a_4>10.$$

郝酒

回复 6# isee

这个题用不动点，取特值，二次函数和y=x有交点，取交点就是常数列，这样就只能取A啦.