[函数] 2019年全国卷I理科第20题 导数极大值点 函数零点

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20. 已知函数$f(x)=\sin x-\ln (1+x)$，$f'(x)$为$f(x)$的导数．证明：

（1）$f'(x)$在区间$\left(-1,\frac \pi2\right)$存在唯一极大值点；

（2）$f(x)$有且仅有2个零点．


我个比较喜欢题，因为此题直接利用导数直接分析函数的性态，都不拐一下弯。

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我个人觉得，没有写出这个的，都是想多了，至少我就想多了，绕了不圈子。

$$f(x)=\sin x-\ln (1+x),\Rightarrow f'(x)=\cos x-\frac 1{1+x},f''(x)=-\sin x+\frac 1{(1+x)^2},$$

而$$f''(x)\text{明显在}(-1,\pi/2)\text{上是单调递减的},$$

在区间$x\in (-1,\pi/2)$找好算的数来算，$$f''(0)=1>0,f''(\pi/2)=-1+\frac 1{(1+\pi/2)^2}<0,$$

所以$f''(x)$有惟一的零点$$f''(x''_0)=0,x''_0\in (0,\pi/2),$$

从而$f'(x)$在$(-1,x''_0)$单调递增，在$(x''_0,\pi/2)$单调递减，所以$f'(x)$在$x\in (-1,\pi/2)$有惟一的极大值点$x''_0$.


至此，第（1）解决，下面来看$f(x)$零点个数.

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回复 2# isee

通常情况下，这个时候，我个需要去求$f'(x)$的极大值，不过，这里并是一件美好的事，也不必求，因为我们关心的是$f'(x)$的符号而已。

$$f(x)=\sin x-\ln (1+x),\Rightarrow f'(x)=\cos x-\frac 1{1+x},$$

注意到两个好算的$$f'(0)=1-1=0,f'(\pi/2)=-\frac 1{1+\pi/2}<0,$$



由2#，于是我们知道$$f'(x''_0)>f'(0)=0,$$所以$$f'(x)\text{在}(-1,\pi/2)\text{有且仅有两个零点},f'(0)=0,f(x'_0)=0,x'_0\in(x''_0,\pi/2).$$

又一般情况下，我们又要确定$x'_0$的范围，特别是含有参数时，而此题里，虽然，我们能进一步确认$x'_0\in (1,\pi/2)$，但我们的目标是判断$f(x)$零点的个数，所以，我们可以先不管这个$x'_0$的精确的范围。

此时，$x,f'(x),f(x)$的关系如下表(MathJax 真宽容，我少画了一列都可以正常显示~~~晕~~~)

\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & (-1,0) & 0 & (0,x'_0) & x'_0 &(x'_0,\pi/2) \\[1em]
\hline
f'(x)& - & 0 & + &0 & -\\[1em]
\hline
f'x) & \searrow & \text{极小值}0 & \nearrow & \text{极大值} & \searrow\\[1em]
\end{array}

对于$f(x)$的极大值，我们一样只需要知道其符号即可，依上法炮制$$f(x'_0)>f(0)=0-0=0,$$又$$f(\pi/2)=1-\ln(1+\pi/2)>0,$$于是再由零点存在性定理知$f(x)$在$(-1,\pi/2)$有且只有一个零点$0$。

又当$x\in(\pi/2,\pi)$时，$f'(x)=\cos x-\ln(1+x)<0$恒成立，所以$f(x)$在$x\in(\pi/2,\pi)$是单调递减的，而$f(\pi)=0-\ln(1+\pi)<0$，故$f(x)$在$x\in(\pi/2,\pi)$上也有惟一的一个零点。

显然当$x\geqslant \pi$时，$f(x)\leqslant 1-\ln(1+\pi)<0$.

综上知$f(x)$仅有两个零点。






PS：书写时，被第一问影响了，其实直接讨论$(-1,3)$这个区间上有且只有两个零点就OK了。