本帖最后由 realnumber 于 2013-11-1 14:13 编辑
容易得只需要证明0<X<1即可.
因为$e^x>1+x$
那么本题,只需要证明$1-x\ln x-x<(1+x)(1+e^{-2})$
即$\ln x+2+e^{-2}+\frac{1}{xe^2}>0$
设$f(x)=\ln x+2+e^{-2}+\frac{1}{xe^2}$
$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2e^2}=0$解得$x=e^{-2}$,取到最小,此时$f(e^{-2})>0$成立0.
看改进的结果,
只需要证明$1-x\ln x-x<(1+x)(1+e^{-3})$
即$\ln x+2+e^{-3}+\frac{1}{xe^3}>0$
设$f(x)=\ln x+2+e^{-3}+\frac{1}{xe^3}$
$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2e^3}=0$解得$x=e^{-3}$,取到最小,此时$f(e^{-3})>0$成立0.也可以。嘿嘿~~~运气好得很~~~ |