免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[函数] 奇怪的导数

本帖最后由 realnumber 于 2013-11-1 13:49 编辑

\[g(x)=x(\frac{1+\ln x}{e^x})'=\frac{1-x-x\ln x}{e^x}\]
求证:$g(x)<1+e^{-2}$
QQ截图20131101134855.png
2013-11-1 13:49

从图象看$g(x)<1+e^{-3}$都可以.
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

奇怪在哪?

TOP

本帖最后由 realnumber 于 2013-11-1 14:13 编辑

容易得只需要证明0<X<1即可.
因为$e^x>1+x$
那么本题,只需要证明$1-x\ln x-x<(1+x)(1+e^{-2})$
即$\ln x+2+e^{-2}+\frac{1}{xe^2}>0$
设$f(x)=\ln x+2+e^{-2}+\frac{1}{xe^2}$
$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2e^2}=0$解得$x=e^{-2}$,取到最小,此时$f(e^{-2})>0$成立0.
看改进的结果,
只需要证明$1-x\ln x-x<(1+x)(1+e^{-3})$
即$\ln x+2+e^{-3}+\frac{1}{xe^3}>0$
设$f(x)=\ln x+2+e^{-3}+\frac{1}{xe^3}$
$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2e^3}=0$解得$x=e^{-3}$,取到最小,此时$f(e^{-3})>0$成立0.也可以。嘿嘿~~~运气好得很~~~

TOP

lnx,和$e^x$搭配普高学生很少见,,勉强说个理由,...好吧,承认是标题党

TOP

lnx,和$e^x$搭配普高学生很少见,,勉强说个理由,...好吧,承认是标题党 ...
realnumber 发表于 2013-11-1 14:26


高等数学也很少见好吧...
因为这货的积分巨坑无比
\[\int_{0}^{\infty}\frac{ln(x)}{e^x}dx=-c\approx-0.577216\]

TOP

奇怪在哪?
kuing 发表于 2013-11-1 14:04
呵呵,迷茫中

TOP

貌似山东的高考题?

TOP

回复 7# 依然饭特稀

TOP

返回列表 回复 发帖