[函数] 血狼王强势回归之函数（2）

血狼王

有一个三次多项式 $f(x)=a+bx+cx^2+dx^3$ 满足 $|f(0)|\leq 1,|f'(0)|\leq 1,|f(\frac{1}{2})|\leq 1,|f(1)|\leq \frac{8}{15}.$
求证对于一切 $x\in [0,1]$ 恒有 $|f(x)|\leq \frac{71}{40}$ 成立。

（也可以做高考解答题用）

kuing

这个不难了，因为早有套路，就是数字不怎么好看……

为方便书写记 `f(0)=p`, `f'(0)=q`, `f(1/2)=r`, `f(1)=s`，代入可解得 `a=p`, `b=q`, `c=-7p-3q+8r-s`, `d=6p+2q-8r+2s`，于是
\begin{align*}
\abs{f(x)}&=\abs{p(1-7x^2+6x^3)+q(x-3x^2+2x^3)+r(8x^2-8x^3)+s(-x^2+2x^3)}\\
&\leqslant\abs{1-7x^2+6x^3}+\abs{x-3x^2+2x^3}+\abs{8x^2-8x^3}+\frac8{15}\abs{-x^2+2x^3},\\
&=\left( 1+3x-\frac{52}{15}x^2 \right)\abs{2x-1}+8x^2-8x^3,
\end{align*}分 `x<1/2` 和 `x\geqslant1/2` 两类讨论不难得出上式当 `x=3/4` 时取最大值 `71/40`，即得证。