[不等式] 求一些帅气的做法

Shiki

在某网站上看到有的人抱怨难,若干理由如下
1.一直在练绝对值不等式。
2.老师一直讲参数方程
?3.老师没怎么讲过Cauchy
$abc=1$
求证：
$\sum \frac {1} {a} \leqslant \sum a^2$
$\sum (a+b)^3 \geqslant 24$
自己想了一会，基本就是各种均值，想请教各位有没有比较酷的做法

lemondian

能不能作些推广?

Shiki

回复 2# lemondian

如果只单纯增加变量个数，貌似没啥意思

isee

看不懂，猜测是全国卷1的不等式选讲


(1)好办，明显等价于$ab+bc+ca\leqslant a^2+b^2+c^2$.

(2)$$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\geqslant 3(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 24abc.$$

其实就是$$x^3+y^3+z^3\geqslant 3xyz.$$

还以为没人理的。。。。。。

爪机专用

将均值改写为配方，算不算？
\[(a+b)^3+(c+b)^3+(a+c)^3=24abc+(a+b+4c)(a-b)^2+(a+4b+c)(a-c)^2+(4a+b+c)(b-c)^2\]

isee

回复 5# 爪机专用

这配方一直没学会。。。。。。

isee

全国卷3的第23题，标签竟然不用柯西（Cauchy）不等式。

好惊喜。

kuing

回复 6# isee

你试一下啊，这个配方非常容易。你就想想你的两步不等式分别都可以配成啥？

isee

回复 8# kuing

不着急不着急啊，这玩意真不是是个人都能玩的，缓缓缓缓。

ruichen

回复 7# isee


    第一问也可用排序不等式 ，第二问怎么用柯西不等式

kuing

回复 11# ruichen

不等式太弱怎么走都行，用柯西比如可以这样：
`\sum(a+b)\sum (a+b)^3\ge[\sum (a+b)^2]^2=\frac19[(1+1+1)\sum (a+b)^2]^2\ge\frac19[\sum (a+b)]^4`
得到 `\sum (a+b)^3\ge\frac19[\sum (a+b)]^3=\frac89(a+b+c)^3\ge24abc`
当然，这不过是为了用柯西而柯西，其实直接用卡尔松就有 `(1+1+1)(1+1+1)\sum (a+b)^3\ge[\sum(a+b)]^3`

isee

回复 12# kuing


只能说你太强了。。。

题说的是全国卷III

设$x,y,z\in \mathrm R$，且$x+y+z=1$.

（1）求$(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2$的最小值；

（2）若$(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2\geqslant \frac 13$成立，证明：$a\leqslant -3$或$a\geqslant -1$.

lemondian

这个推广对不：
若$a_1,a_2,\cdots ,a_n$都是正数，且$a_1a_2\cdots a_n=1,n\inN^*,n\geqslant 2$，则
（1）$a_1^{n-1}+a_2^{n-1}+\cdots +a_n^{n-1}\geqslant\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots +\dfrac{1}{a_n} $
(2)$(a_1+a_2)^n+(a_2+a_3)^n+\cdots +(a_{n-1}+a_n)^n+(a_n+a_1)^n\geqslant n\times 2^n$

爪机专用

回复 13# lemondian

费话，这不是明显一样道理么，3楼早已说了。