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一类以封闭代数曲面为界区域的体积

本帖最后由 青青子衿 于 2019-6-8 20:24 编辑

\begin{align*}
\operatorname{Volume}\left[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\leqslant\dfrac{2x}{A}+\dfrac{2y}{B}+\dfrac{2z}{C}\right]
&=\dfrac{4\pi\,abc}{3}\sqrt{\left(\dfrac{a^2}{A^2}+\dfrac{b^2}{B^2}+\dfrac{c^2}{C^2}\right)^3}\\
\\
\operatorname{Volume}\left[\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\right)^2\leqslant\sqrt{\dfrac{a^2}{A^2}+\dfrac{b^2}{B^2}+\dfrac{c^2}{C^2}}\,\bigg(\dfrac{z}{c}\bigg)\right]
&=\dfrac{\pi\,abc}{3}\sqrt{\dfrac{a^2}{A^2}+\dfrac{b^2}{B^2}+\dfrac{c^2}{C^2}}\\
\\
\operatorname{Volume}\left[\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\right)^2\leqslant\dfrac{x}{A}+\dfrac{y}{B}+\dfrac{z}{C}\right]
&=\dfrac{\pi\,abc}{3}\sqrt{\dfrac{a^2}{A^2}+\dfrac{b^2}{B^2}+\dfrac{c^2}{C^2}}\\
\end{align*}
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本帖最后由 青青子衿 于 2019-6-10 18:31 编辑

\begin{gather*}
\left\{
\begin{split}
\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)^2
&\leqslant\dfrac{x}{A}+\dfrac{y}{B}+\dfrac{z}{C}\\
x&\geqslant0\\
y&\geqslant0\\
z&\geqslant0
\end{split}\right.\\
\\
V=\dfrac{abc}{60}\left(\left(\dfrac{a}{A}+\dfrac{b}{B}\right)\left(\dfrac{a^2}{A^2}+\dfrac{b^2}{B^2}\right)+\left(\dfrac{a^2}{A^2}+\dfrac{ab}{AB}+\dfrac{b^2}{B^2}\right)\dfrac{c}{C}+\left(\dfrac{a}{A}+\dfrac{b}{B}\right)\dfrac{c^2}{C^2}+\dfrac{c^3}{C^3}\right)\\
\\
V=\dfrac{abc}{60}\bigg(\left(\dfrac{a}{A}+\dfrac{b}{B}+\dfrac{c}{C}\right)^3-2\left(\dfrac{a}{A}+\dfrac{b}{B}+\dfrac{c}{C}\right)\left(\dfrac{a\,b}{AB}+\dfrac{b\,c}{BC}+\dfrac{a\,c}{AC}\right)+\dfrac{a\,b\,c}{ABC}\bigg)
\end{gather*}

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