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[不等式] 证明$a^5+b^5+c^5\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)$

正实数$a,b,c$,求证$a^5+b^5+c^5\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)$.
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不是吧……这还用问?简直随便证啊……

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回复 2# kuing

这肯定入不了你的法眼啦~

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回复 3# isee

给个加强你玩玩好抱?\[abc(a^2+b^2+c^2)\leqslant\frac{(a+b+c)^5}{81}.\]这其实也不难喔

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更加一点的话:
\[abc(a^2+b^2+c^2)\leqslant\frac{(b+c)(c+a)(a+b)(a+b+c)^2}{24}.\]这个就有点难度了。

注:以上两个都能在《撸题集》里找到。

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回复 4# kuing

实话说,主楼那道 我就算了好久还没绕出来呢。。。。歇会,先。。。。

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回复 6# isee

切比雪夫不等式了不了解?
不了解的话,排序不等式了不了解?
再不,那将原不等式写成这样你还会不会?:`\frac{a^4}{bc}+\frac{b^4}{ca}+\frac{c^4}{ab}\ge a^2+b^2+c^2`

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真的随便都能证。$ \frac{a^4}{bc}+\frac{b^4}{ac}+\frac{c^4}{ab} \geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{bc+ac+ab}$,又$ a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ac $完毕。

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似乎昨天那个也是闭眼睛瞎证也得全分。

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回复 1# isee
kuing懒得写,我来练练笔,好久没做题了,
已知$a$,$b$,$c>0$,求证:$a^5+b^5+c^5\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)$.

证明:$a^5+b^5+c^5=\dfrac{a^4}{\dfrac1a}+\dfrac{b^4}{\dfrac1b}+\dfrac{c^4}{\dfrac1c}\geqslant\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c}=\dfrac{abc(a^2+b^2+c^2)^2}{bc+ca+ab}\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)
$

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回复 8# 敬畏数学


与7#同时哇。。。


学习了,谢谢。





回复 10# 其妙

这变形方法,受教了,继续4#。

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本帖最后由 yao4015 于 2019-6-10 11:00 编辑

算术-几何平均
\begin{align}
x^5+x^5+x^5+y^5+z^5\geq 5\sqrt[5]{x^{15}y^5z^5}=5x^3yz\\
y^5+y^5+y^5+x^5+z^5\geq 5\sqrt[5]{y^{15}x^5z^5}=5y^3xz\\
z^5+z^5+z^5+x^5+y^5\geq 5\sqrt[5]{z^{15}x^5y^5}=5z^3xy
\end{align}
三式相加除以$5$, 完事.

另外, 高考那个 $23$ 题, 哪个出的 ?
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评分人数

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这个可以试试
$$abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)(a+b+c)^2}{9}$$

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本帖最后由 isee 于 2019-6-16 16:33 编辑

回复 7# kuing

知道排序不等式,但没用过。

今天温习了一下,用排序不等式,是这个意思?

不妨设$a\leqslant b\leqslant c$,则$$a^4\leqslant b^4\leqslant c^4,\frac 1{bc}\leqslant \frac 1{ac}\leqslant \frac 1{ab},\cdots$$由排序不等式$$\frac {a^4}{bc}+\frac {b^4}{ac}+\frac  {c^4}{ab}\geqslant \frac {a^3}b+\frac {b^3}c+\frac {c^3}a\geqslant a^2+b^2+c^2.$$

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回复 14# isee

可以。
不过我的意思其实是 `\{a^3,b^3,c^3\}` 与 `\{a^2,b^2,c^2\}` 同序,由同序和 `\ge` 乱序和,
得 `a^5+b^5+c^5\ge a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2` 以及 `a^5+b^5+c^5\ge a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2`,
相加得 `2(a^5+b^5+c^5)\ge a^3(b^2+c^2)+b^3(c^2+a^2)+c^3(a^2+b^2)\ge2abc(a^2+b^2+c^2)`。

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本帖最后由 isee 于 2019-6-16 17:38 编辑

回复 7# kuing


chebyshev不等式,查了下,这个样子吧。
设$a\leqslant b\leqslant c$,则由chebyshev不等式有:
$$3(a^5+b^5+c^5)\geqslant (a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)\geqslant 3abc(a^2+b^2+c^2).$$
这么一看,难怪第一反应是chebyshev不等式。

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这个可以试试
$$abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)(a+b+c)^2}{9}$$
血狼王 发表于 2019-6-10 11:57
突然发现这个就是《撸题集》P.948 开头的那个不等式……

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回复 17# kuing


是吗?
我早该想到这个前人已经出过了

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