对任意$x\in [ \frac{1}{e^2},+∞)$均有$a\ln{x}+\sqrt{x+1}\le \frac{\sqrt{x}}{2a},a≠0$成立,
求$a$的取值范围.
记$g(x)=\frac{\sqrt{x}}{2a}-a\ln{x}-\sqrt{x+1}$,由$g(1)\ge 0$,得到$0<a\le \frac{\sqrt{2}}{4}$.
以下证明当$0<a\le \frac{\sqrt{2}}{4},x\ge \frac{1}{e^2}$时,原不等式恒成立.
即要证明$2a^2\ln{x}+2a\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\le 0 $
左边看作a的二次函数,因为a>0,只需$a=0,a=\frac{\sqrt{2}}{4}$代入成立即可.a=0显然
$a=\frac{\sqrt{2}}{4}$代入,即要证明$x\in [ \frac{1}{e^2},+∞)$,$\frac{\ln{x}}{4}+\frac{\sqrt{2}\sqrt{x+1}}{2}-\sqrt{x}\le 0$,
令$x=t^2,t\ge \frac{1}{e}$,即要证明$\frac{\ln{t}}{2}+\frac{\sqrt{2}\sqrt{t^2+1}}{2}-t\le 0$,
记$h(t)=t-\frac{\ln{t}}{2}-\frac{\sqrt{2}\sqrt{t^2+1}}{2},t\ge \frac{1}{e}$
$h(1)=0,\frac{1}{t}=s,0<s\le e,h'(t)=1-\frac{1}{2t}-\frac{t}{\sqrt{2}\sqrt{t^2+1}}=1-\frac{s}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1+s^2}},$
可证$h'(1)=0,t>1,h'(t)>0,\frac{1}{e}<t<1,h'(t)<0$
所以有h(t)>0成立.这就证明了原题. |