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[几何] 椭圆中的定值问题

已知点$B(x_0,y_0)$在椭圆上,过点$B$作椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的切线$l$,直线$l$交$x$轴于点$A$,过点$A$任作一条直线交椭圆于$M,N$两点,若直线$BM,BN$分别交$x$轴于$P,Q$两点。是否存在一点$C$,使得$|CP|\cdot |CQ|$为定值?若存在,请求出点$C$的坐标。
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设 `B` 在 `x` 轴上的投影为 `B'`,则 `B'A` 的中点就是所求的 `C`。

证明:易证 `B'`, `P`, `A`, `Q` 四点调和,则由调和点列的性质知 `CP\cdot CQ=CA^2`,即为定值。

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回复 2# kuing

又秒了.请问有解析法证明么?
参量多,搞不好

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回复 3# lemondian

此题,退一步即是:接2#字母,设直线$BB'$交$AM$于$L$,设点$M$在$A$,$N$之间,则原命题等价于证$$ML\cdot AN=AM\cdot LN.$$

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趁热乎问一个初中抛物线定值问题:这题第3问是什么背景?http://m.jyeoo.com/math/ques/det ... a-a667-307171118d85

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回复 5# hbghlyj

没帐号,看不了。

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回复 6# kuing
过点P(1,3)任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线$y=−\frac14x^2+\frac12x+\frac{15}4$于$M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)$两点,试探究$\frac{M_1P M_2P}{M_1M_2}$是否为定值

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回复 4# isee

此题本质上说,是这个抛物线是完全一样的

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回复  kuing
过点P(1,3)任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线$y=−\frac14x^2+\frac12x+\frac{15}4$于$M_1 ...
hbghlyj 发表于 2019-6-7 20:09

`P` 恰是抛物线焦点,作出准线及各路垂线,连成如下图,由定义有 `PM_1=M_1N_1`, `PM_2=M_2N_2`,问题的背景就是梯形中的结论:
\[\frac1{M_1N_1}+\frac1{M_2N_2}=\frac2{PQ}.\]
捕获.PNG
2019-6-7 22:42
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 9# kuing

初中一般就是这个了,或者是抛物线的定义

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