免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

来自人教论坛的构成三角形概率(经典问题的变式)

原贴链接 http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2845085
题目:
2013河南预赛
将长度为1的木棍任意的折成两段,较长的再随机折成两段,求三段能构成三角形的概率

\(\require{cancel}\)
概率问题不太在行,不知能不能如下这样做?

设第一次折断后较短的一条长为 $x$,则易知第二次折断后能构成三角形的概率为 $x/(1-x)$,于是所求的概率为
\[\xcancel{\int_0^{1/2}\frac x{1-x}\rmd x=\ln2-\frac12\approx 0.193147.}\]

===============
错了,正确的见6#
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

这个结果与我的第一感觉有所出入,因为它居然比 1/4 小,所以真有点信心不足的说……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

k的这种不懂。高中的题也肯定不是这个做法。
线性规划吧。印象中,$ \frac{1}{4}$

TOP

1/4 是原经典问题(即直接随机断成三段)的结果。
我的第一感觉是结果应该会比 1/4 大的,因为第二次选较长的来断,可以说是个优化了的操作,概率应该有所增大。
所以现在觉得奇怪,但是上面的解法我又找不到什么问题……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

又想了想,好像一楼的应该乘以2才对……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

要乘以2的原因,是因为第一次折断时,较短的长度在区间 $[x,x+\Delta x]$ 上的概率为 $2\Delta x$,因此积分的时候后面应该是 $\rmd{(2x)}$,也就是说结果应该是
\[\int_0^{1/2}\frac x{1-x}\rmd{(2x)}=2\ln2-1\approx 0.386294.\]

终于符合第一感觉了。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

k的这种不懂。高中的题也肯定不是这个做法。
线性规划吧。印象中,$ \frac{1}{4}$ ...
第一章 发表于 2013-7-16 17:59


说不定是命题人意料之外的事……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

用 mathematica 写了个简单程序验证一下结果。

n = 10000;
Do[{
  i = 0;
  Do[{
     cut1 = RandomReal[];
     If[cut1 < 0.5, a = cut1, a = 1 - cut1];
     b = RandomReal[1 - a];
     c = 1 - a - b;
     If[a + b > c && b + c > a && c + a > b, i++];
     }, {n}]
   Print[N[i/n]]
  }, {10}]

意思是用10000次操作得到比例,做10次试验,得到10个数据,刚才一次得到的数据是
0.3871
0.3826
0.3907
0.3857
0.3904
0.3767
0.3804
0.3795
0.3838
0.3843

跟理论值还算近吧
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

增大 n 更精确,当然运行时间更慢些。

n = 200000;
Do[{
  i = 0;
  Do[{
     cut1 = RandomReal[];
     a = Min[cut1, 1 - cut1];
     b = RandomReal[1 - a];
     c = 1 - a - b;
     If[a + b > c && b + c > a && c + a > b, i++];
     }, {n}]
   Print[N[i/n]]
  }, {10}]


0.38558
0.386795
0.385885
0.38624
0.385825
0.385315
0.38932
0.3864
0.3885
0.388405

至少不会是 1/4 或 1/3

注:
RandomReal[XX] 是产生0~XX之间的实随机数,留空时XX=1。
Min[...] 是取较小者,上一楼用了 If ,没区别。
N[...] 是取近似数值,默认为6位有效数字。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

原贴中网友“yddy11”的解答如下
设第一次折断后,较短的一段为x,则0<x<1/2,较长一段为t=1-x,1/2<t<1.

第二次折断后,所得两段记作y、z,则y+z=t=1-x,∴z=1-x-y>0,知0<x+y<1。

由组成三角形的条件:x+y>z且y+z>x且z+x>y得,0<x<1/2,0<y<1/2,1/2<x+y<1.

可行域是0<x<1/2且0<x+y<1(梯形);组成三角形的条件是0<x<1/2,0<y<1/2,1/2<x+y<1(三角形).

p=s/S=(1/8)/(3/8)=1/3.

应该怎么说明其问题所在?
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

本题的完整版见 http://wenku.baidu.com/view/3f636109e87101f69e319530.html(第四大题),那里的参考答案(假设链接中的文档内容为真)跟“yddy11”的类似,汗……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

知道应该怎么说了。
设第一次折断后,较短的一段为x,则0<x<1/2,较长一段为t=1-x,1/2<t<1.

第二次折断后,所得两段记作y、z,则y+z=t=1-x,∴z=1-x-y>0,知0<x+y<1。

由组成三角形的条件:x+y>z且y+z>x且z+x>y得,0<x<1/2,0<y<1/2,1/2<x+y<1.

可行域是0<x<1/2且0<x+y<1(梯形);组成三角形的条件是0<x<1/2,0<y<1/2,1/2<x+y<1(三角形).

p=s/S=(1/8)/(3/8)=1/3.


这个解法中,前面都没问题,错只错在最后一步,这是因为点(x,y)在可行域内并不是均匀公布的。

我们先不管它是否构成三角形,仅看基本事件。考虑梯形可行域内的点(x,y)在其中位线(即x=1/4)两侧的分布,由于x仅由第一次折断所决定,所以易见x<1/4和x>1/4的概率相同,也就是说如果我们做大量重复试验,那么在中位线两侧的点的数量是相近的,但是两侧面积显然不同,左大右小,因此右侧的点将会更密集(事实上越右越密),这就说明了点的分布不均匀,便不能直接用面积比计算概率。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

本帖最后由 第一章 于 2013-7-17 08:29 编辑

佩服kk,能折腾到凌晨4点。
如kk所说的,说不定是命题人意料之外的事……
这种级别的考试,出这样的“凑题”也很正常啊,高考也出现过的。2011•全国卷(理)22题也有凑的痕迹……
2011•全国卷理数.jpg
2013-7-17 08:28

TOP

在 mathematica 中模拟了一下,做10000次重复试验
n = 10000;
i = 1;
Do[{
  cut1 = RandomReal[];
  x[i] = Min[cut1, 1 - cut1];
  y[i] = RandomReal[1 - x[i]];
  i++
  }, {n}]
ListPlot[Table[{x[k], y[k]}, {k, 1, n}],
PlotRange -> {{0, 1}, {0, 1}}, AspectRatio -> 1]

QQ截图20130717150706.png
2013-7-17 15:07
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

回复 13# 第一章

呵呵,我本来就夜猫,加上想着题,就更夜了……
三点多的时候想好怎么说,本来打算睡一觉起来再回贴,但是睡不着,干脆就用爪机回了,反正不用打公式。
那道题跟这道的拼凑方式一样,生硬,无趣,居然还是高考题
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

回复 6# kuing

好解,总算看明白了!

TOP

回复 12# kuing
基本事件的等概率性的确太容易忽视了!其实我刚开始做的也是$\dfrac13$

TOP

我在考虑将这个问题整理成文放《数学空间》去
但是积分那里不知怎样解释才能更容易被理解接受……用所谓的“微元法”代替不知行不行
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

回复 14# kuing
太牛啦!还能搞模拟!
运用现代高科技啦!虽然教材也简单介绍过模拟。

TOP

回复 19# 其妙

有图有真相才有说服力喔
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

TOP

返回列表 回复 发帖