[几何] 正方形四顶点到动直线的距离之和的范围

hbghlyj

P为单位正方形ABCD边BC上一点,Q在边CD上运动,则A,B,C,D到直线PQ的距离之和的取值范围是$[2,\sqrt2]$,分别当Q与C,D重合时取等

kuing

记 `A`, `B`, `C`, `D` 到直线 `PQ` 的距离分别为 `d_1`, `d_2`, `d_3`, `d_4`，记 `s=d_1+d_2+d_3+d_4`。

最大值：当直线方向取定时，往 `C` 侧平移，`d_1+d_3` 不变，`d_2`, `d_4` 增大，所以取最大值时直线必定过 `C`，此时 `d_3=0`, `d_1\leqslant AC=\sqrt2` 且易知 `d_2^2+d_4^2=1`，得 `d_2+d_4\leqslant\sqrt2`，所以 `s\leqslant2\sqrt2`。

最小值：反方向平移，可知取最小值时直线过 `B` 或 `D`，由对称性不妨让其过 `B`，并设 `PQ` 与 `BD` 的夹角为 `\theta`，则 `\theta\in[0,\pi/4]`，则此时 `s=\sqrt2\sin\theta+\sin(\pi/4-\theta)+\sin(\pi/4+\theta)=\sqrt2(\sin\theta+\cos\theta)\geqslant\sqrt2`。

乌贼

2019-6-4 15:07

如图：$ ABGN $为平行四边形。\[ \triangle DQF\cong \triangle GLM\riff DF=GM\riff AN+BE+CK+DF=2AN\riff 2AB\geqslant AN+BE+CK+DF\geqslant 2AH \]

kuing

回复 3# 乌贼

噢对，`d_2+d_3+d_4=d_1`，这个好。

不过，看了你的解法才发现题意应该理解为 `P` 是固定的？就算是这样，也应该是 `AN\in[AH,AP]` 啊？

乌贼

回复 4# kuing
$ Q $到$ C $点时，$ N $到$ B $点

kuing

回复 5# 乌贼

可 N 到 B 时并不是 AN 最大啊，AN 最大显然就是 AP 啊

乌贼

回复 6# kuing
对，那这题的取值范围与$P$点的位置有关了