[几何] 椭圆解答题

wujiemin1981

已知点P是椭圆c：

1. x^2/2+y^2=1

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外一点，过点P作椭圆的两条切线，，切点分别为

1. A(x_1,y_1),B(x_2,y_2).y_1y_2#0

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（1）求证：切线PA的方程是

1. x_1x+y_1y-2=0

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（2）设点P为抛物线D：

1. y=x^2+2

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上的动点，求三角形PAB面积的最小值

isee

回复 1# wujiemin1981

不需要点代码，然后输入。

只需要在正文中写公式，两边加美元符号即可。

isee

面积最小值，次数太高，搞不定，猜测P在拋物线顶点时最小
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又算了下，先不纯一成一元，反而有出路。

椭圆$x^2+2y^2=2$，过抛物线$y=x^2+2$上一点$P(m,n)$向椭圆作两条切线，切点分别为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则可知切点弦$AB$方程为$$mx+2ny=2,$$与椭圆联立，消$x$有$$(2m^2+4n^2)y^2-8ny+4-2m^2=0,$$于是$$y_1+y_2=\frac{4n}{m^2+2n^2},y_1y_2=\frac{2-m^2}{m^2+2n^2,}$$
由弦张公式$$\abs{AB}=\sqrt{1+\frac{4n^2}{m^2}}\sqrt{\frac{16n^2}{(m^2+2n^2)^2}-\frac{4(2-m^2)(m^2+2n^2)}{(m^2+2n^2)^2}},$$ 整理为
$$\abs{AB}=\sqrt{\frac{m^2+4n^2}{m^2}}\sqrt{\frac{4m^2(m^2+2n^2-2)}{(m^2+2n^2)^2}}.$$

点$P$到直线$AB$的距离为$$d=\frac{\abs{m^2+2n^2-2}}{\sqrt{m^2+4n^2}}=\frac{m^2+2n^2-2}{\sqrt{m^2+4n^2}},$$
于是$$S_{\triangle{PAB}}=\frac{m^2+2n^2-2}{m^2+2n^2}\sqrt{m^2+2n^2-2}=\left(1-\frac 2t\right)\sqrt{t-2}=f(t),$$
其中$$t=m^2+2n^2=m^2+2(m^2+2)^2\geqslant 8,$$

又明摆的，$y=1-2/t>0$，$y=\sqrt{t-2}>0$且均为增函数，从而$$f(t)\text{为增函数},$$
所以$$S_{\triangle{PAB}}\geqslant f(8)=\frac{3\sqrt 6}4.$$

没检验，如果没算错的话就是这个值了。

isee

回复 3# isee

检验一下：若极点$P(0,2)$，(对椭圆$x^2+2y^2=2$)，则对应的极线$y=\frac 12$，从而切点的横坐标差：$\sqrt 6$，则与上楼对上了。

99.99%计算是正确的了。

kuing

本来我是想等楼主把题目码好再看的，看来是不理了，既然楼上都玩了，我也来写一个吧

首先第一问就不管了（而且好像打错了？）

第二问，首先，如果椭圆是圆 `x^2+y^2=1`，那么当 `P` 在同心圆 `x^2+y^2=m` 上时那面积为定值，且 `m` 越大面积越大。

然后作伸缩变换可知，对于椭圆 `x^2/2+y^2=1`，当 `P` 在同心椭圆（注：这里的“心”代表离心率）`x^2/2+y^2=m` 上时那面积为定值，且 `m` 越大面积越大。

于是，只需求出当 `x^2/2+y^2=m` 与那抛物线相切时的切点，`P` 在切点上时就是最小值。

由抛物线方程显见 `m=4` 时切于顶点 `(0,2)`，易得此时直线为 `y=1/2` 及 `AB=\sqrt6`，所以最小值为 `3\sqrt6/4`。

isee

回复 5# kuing

楼主今天来过，帖子肯定是查看地了，估计也不怎么关心代码，就先算个结果喽，也是巧了，近两天正好在整切点弦，只是题没这么复杂，参数少的，就计算下喽。。那个f(t)估计也是具有通用性的了。

当然了，这题对你肯定是小意思了，对高考高生倒是有难度的。

没想到，这题也能“仿射”写。。学习下。。。

isee

本来我是想等楼主把题目码好再看的，看来是不理了，既然楼上都玩了，我也来写一个吧

首先第一问就 ...
kuing 发表于 2019-6-4 16:16

3#白算了%%%%%%%%

乌贼

题都没有，就有答案

kuing

回复 8# 乌贼

你咋不想想我们为啥就能看到题目？