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[组合] 四道与多边形有关的问题

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-6-2 11:01 编辑

(1)一个2016边形共有n条对称轴,求n的所有可能值
(2)一个圆内接n边形(n>6),顺次选取相邻的6条邻边并交换前3条和后3条的位置,重复这样的操作,能否得到同圆内接的任一个与原多边形的边长全相等但顺序不同的n边形
(3)沿凸n边形的任意互不相交的n-3条对角线总能将其分为n-2个由多边形顶点形成的三角形。对于其中一种分法,每次选取有公共边的三角形,将其公共边代以另外两顶点的连线,重复这样的操作,能否得到多边形的所有其他分法
(4)以凸n边形的n个顶点、形内的m个点(不含边界)为顶点,任三点不共线,将凸n边形的内部划分为互不重叠的三角形,有多少种分法

本帖最后由 realnumber 于 2019-6-2 10:57 编辑

(1)三角形n=3.可以有1,3条对称轴。比如等腰直角三角形与正三角形,不会有2条对称轴.
n=4,可以有1,2,4;n=5可以是1,5;n=6可以是1,2,3,6
因此猜测$2016=2^5\times3^2\times7$对称轴数应该是36个因数.
n奇数时,对称轴就过顶点与边的中点;n偶数时,对称轴过两个顶点或两个边的中点.
(2)交换不太理解,一次交换,相关的几条边长怎么变的?
(3)试了n=4,5,6没发现得不到的分法,假设“不可以得到所有的分法的最小的值”是“n=k0”,它至少有2种分法不能互相转换,记为A分法与B分法,顶点依次编号,1,2,3,....,n.若3号顶点都没连线,说明2,4相连,考虑1,2,3,4或2,3,4,5,总能操作一次,使得3号有连线;接下来选定与3号相连的那条线,把n=k0边形分割成两个小于k0边形的多边形,总能变换为3号与5号相连,如此暂时去掉4号,则为k0-1边形,总能够互相变换,填上第四顶点,这2种分法也能互相变换.
(4)三角形内添一点,就多2个三角形,这样?

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回复 2# realnumber
(2)的表述模糊不清,已经修改了
(4)应该是最困难的问题了。显然个数为n+2m-2但分法的数目很难求

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本帖最后由 realnumber 于 2019-6-24 09:01 编辑

(2)至少对$n=3k,k\in N$的不成立,比如n=9,依次对顶点编号1,2,3,...,9
按3边与相邻三边次序不变交换,那么编号同余(模3)的交换,不同余的不会交换.(类似交换4边等也一样).对n=3k+,3k+2不清楚,猜测也不会成立.
(4),记n边形,内有m个点($n\ge3$)有f(n,m)种分法,
另外这些问题解决是在处理什么事情,冒出来的啊?
m=0时,那么f(3,0)=1,f(4,0)=2,f(5,0)=5(总是都与某顶点相连),f(6,0)=11,想不出.....
m=1时,f(3,1)=1,f(4,1)=2+1(与m=0比较,多出来一种是这个点与所有顶点相连),
f(5,1)=

QQ截图20190624085513aaa.png
2019-6-24 08:59

上图如果没遗漏的话,表明四点内放两点,放置种数与位置有关,分别是6种与8种,说明问题并不简单.

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-6-7 23:07 编辑

回复 4# realnumber
这些问题可以辅助证明一些多边形的问题。比如为了证明这个http://www.cut-the-knot.org/proofs/jap.shtml我们通过(3)只需证明一个四边形的情况:https://www.cut-the-knot.org/Cur ... l.shtml#explanation(记得是某年cmo几何出处)

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再补充一道“多边形三角剖分”的题目。(出自x大学自主招生考试)
正多边形用对角线将其划分为三角形,任两条对角线不相交,证明:任何一种分法,所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
我把网络上的证明整理如下:
QQ浏览器截图20180909213316.png
2019-6-23 23:40

高亮的部分是我不太理解的。用同样的方法,比如假设∠CAD是钝角,就找到△CDE,E在CD的另一侧,则∠CED是锐角等等。可是这样构造出来的三角形仅仅知道一个角是锐角,不能说明任何问题呀

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回复 6# hbghlyj


    试了下正方形和正六边形,有不存在锐角三角形的分法.

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-6-24 11:42 编辑

回复 7# realnumber
看来应该改成正奇数边形。
题干比较短的题目通常会被流传成错题。

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本帖最后由 realnumber 于 2019-6-24 16:26 编辑

QQ截图20190624161333bbb.png
2019-6-24 16:15

以正11边形为例,随意连条边AB,总有AB一侧点少(DE),另一侧点多(C),点少的那侧都是钝角三角形了,圆周角大于90度了,
接下来看图2,继续看A或B出发的线(AB至少一点会有线的),注意那侧点多或少(相对于全体11点,去掉本身2点,还有9点),继续选择点多的一侧,直至结束,得到 唯一一个三角形,好象是锐角三角形了.心虚得笑一下
另外4楼更新了图片,没错的话,问题4猜是很复杂了.

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本帖最后由 hbghlyj 于 2019-6-25 16:49 编辑

回复 9# realnumber
还可以继续探究,正2n边形如此分出的锐角,直角,钝角三角形个数的有序三元组(a,b,c)的所有可能
我能力有限,只能先考虑几个特例:
首先有一种分法,连接某一顶点和其余(2n-3)个顶点,即(0,2,2n-4)
QQ图片20190625095106.jpg
2019-6-25 16:40

还有一类分法,每隔1个顶点,连接出一个n边形.设$2n=p·2^q$,(p是奇数,q∈N*),则分到最后是正p边形,恰能分出1个锐角三角形,总共是(1,0,2n-3)
QQ图片20190625095106.jpg
2019-6-25 16:49

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