[不等式] 矮子里拔将军

realnumber

min{a,b,c}表示a,b,c中最小值
M=min{$2x,\frac{1}{y},y+\frac{1}{x}$}，x>0,y>0
则M的最大值是________.



解法一：（猜测2x=1/y=y+1/x，M取到最大）
M=min{$2x,2x,\frac{1}{y},y+\frac{1}{x},y+\frac{1}{x},y+\frac{1}{x}$}
而$3y+\frac{3}{x}+\frac{1}{y}+4x\ge 6\sqrt{3}$
而$3y+\frac{3}{x}+\frac{1}{y}+4x\ge 6M$恒成立.
因此$6\sqrt{3}\ge 6M$.此解法的最后一行没问题吧？似乎就是本论坛看到过的.

（转）解答二：M≤2x,M≤1/y得到2/M+1/M≥1/x+y≥M,解得$M\le \sqrt{3}$.