[不等式] 高三理科模考试卷 3a+b=14

走走看看

若a，b＞0，且3a+b=14，求证：$\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2}≥3。$

kuing

先猜取等，再凑不等式啊……说过好多次的心法了，还不能领会吗？

很容易发现 a=4,b=2 时取等，于是
\begin{align*}
\frac {a^2}{a+2b}+\frac {a+2b}4&\geqslant a\\
\frac {b^2}{b+2}+\frac {b+2}4&\geqslant b
\end{align*}相加就完了啊

kuing

哦，原来之前就扯过了，一大堆，见：http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5313

走走看看

回复 3# kuing


    还真是的，谢谢啊！

敬畏数学

$ x,y,z∈R^+，x+y+z=6 $，则$ x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz} $的最大值_______。类似的一个。

爪机专用

回复 5# 敬畏数学

见：http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4064

敬畏数学

这个等号成立难观察了，只能猜系数。

isee

回复 3# kuing


模拟卷上的不等式？我碰到的为什么基本均可以用均值，或者柯西不等式。

其妙

回复 1# 走走看看
除了均值不等式的方法，怎么能忘了柯西不等式呢

isee

回复 9# 其妙


    写来学习下，，，，，

敬畏数学

先柯西再齐次化，不难。$ \frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2}\geqslant \frac{(a+b)^2}{a+3b+2}=\frac{(a+b)^2}{(a+3b+\frac{3a+b}{7})\frac{3a+b}{14}}=\frac{98(a^2+2ab+b^2)}{30a^2+76ab+22b^2}=\frac{98(1+2\frac{b}{a}+(\frac{b}{a})^2)}{30+76\frac{b}{a}+22(\frac{b}{a})^2}$，设$ \frac{b}{a}=x，f(x)=\frac{x^2+2x+1}{22x^2+76x+30},x∈R^+ $，$ f(x)_{min}=f(\frac{1}{2})=\frac{3}{98} $，即$ \frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2}\geqslant 3 $。或者柯西后再均值不等式处理那个分式，期待高手。。。。，感觉可以。