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[不等式] 一道不等式证明

$ a,b\geqslant 0,a+b\geqslant 2 $,证明:$ \sqrt{4a^2+5}+\sqrt{4b^2+5}+\sqrt{4ab+5} \geqslant 9$
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挺紧的,比以前撸过的类似题难多了。

时间关系粗略写写:
首先左边关于变量递增,因此只需证 `a+b=2` 的情形即可,此时令 `ab=t\in[0,1]`,易知不等式等价于
\[\sqrt{26-8t+2\sqrt{16t^2-40t+105}}+\sqrt{4t+5}\geqslant9,\]不难证明
\begin{align*}
\LHS&\geqslant\sqrt{26-8t+2\left( \frac59t^2-\frac{14}9t+10 \right)}+\sqrt{4t+5}\\
&\geqslant\frac{61t^2-142t+243}{27}-\sqrt5(1-t)^2+\sqrt{4t+5},
\end{align*}因此只需证
\[\sqrt{4t+5}\geqslant\sqrt5(1-t)^2+\frac{t(142-61t)}{27},\]平方分解易证之。

PS、看起来轻描淡写,其实做了大量运算

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回复 2# kuing
高手,我看了整整一个半小时,貌似没有感觉,谢谢。既然这样,那还是不要搞这些意义不大的问题。再次感谢!可以删除就删除他。说实话,高手说的链接帖子里那个不等式的证明,我也整的头晕。

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回复 3# 敬畏数学

?为啥你会觉得意义不大?我觉得还好啊,至少不等式的形式挺好,又够紧。我证得不好看,也不代表不存在精妙的证法。

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回复 3# 敬畏数学
这个太难了。可以玩玩这种:
已知$a,b,c,d>0$,求证:$\sum{\dfrac{a}{6a^2+3b^2+2c^2+d^2}}\leqslant \sum{\dfrac{1}{12a}}$.

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