挺紧的,比以前撸过的类似题难多了。
时间关系粗略写写:
首先左边关于变量递增,因此只需证 `a+b=2` 的情形即可,此时令 `ab=t\in[0,1]`,易知不等式等价于
\[\sqrt{26-8t+2\sqrt{16t^2-40t+105}}+\sqrt{4t+5}\geqslant9,\]不难证明
\begin{align*}
\LHS&\geqslant\sqrt{26-8t+2\left( \frac59t^2-\frac{14}9t+10 \right)}+\sqrt{4t+5}\\
&\geqslant\frac{61t^2-142t+243}{27}-\sqrt5(1-t)^2+\sqrt{4t+5},
\end{align*}因此只需证
\[\sqrt{4t+5}\geqslant\sqrt5(1-t)^2+\frac{t(142-61t)}{27},\]平方分解易证之。
PS、看起来轻描淡写,其实做了大量运算 |