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[函数] 双变量参数问题

函数$f(x)=x^3-|ax^2-b|-1 在(0,2)上有两个零点,则\frac{b}{a}的取值范围?$

咋弄咧?
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回复 1# facebooker


看来这个题是近期难点啊

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本帖最后由 isee 于 2019-6-4 18:53 编辑

还好绝对值里没有一次项

PS:中文放公式中,中文前要加\text,麻烦的呢~


============









尝试一下,先

$$\abs{ax^2+b}=x^3-1\geqslant 0\Rightarrow 1\leqslant x<2.$$

让有个零点就是1,探探路,再令另一个零点是2好了,于是$$a+b=0,a<\frac 73.$$

让抛物线$y=ax^2-a$与$y=x^3-1$相切于$(1,0)$这一点,不过两曲线相切,怎么算?管他,先公切线,$$2a=3\Rightarrow a=\frac 32.$$

这时$$\frac ba=-1.$$


以上是最特别的情况。

b=0? 可能不合题设,可能,先不理。让抛物线的图像折起来,延续这种想法,有一零点大于1了,再切一下,,,,设切点$(x_0,y_0)$,则$$\require{cancel}\cancel{-a-b>0,2ax_0=3x_0^2\Rightarrow a=\frac{3x_0}2},$$不顺,有问题,扔这儿了,先










=====

直接去掉绝对值好了。

当$ax^2+b\geqslant 0$时,$$g(x)=x^3-ax^2-b-1,f'(x)=x(3x-2a),1<x<2,$$
这个思想倒是顺的,只是要讨论。

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回复 4# isee

让人晕菜啊。
函数 $f(x)=x^3-|ax^2+b|-1$在区间$(0,2)$上有2个零点,则$\dfrac{b}{a}$的取值范围为多少?
一样的题,我又发了。原谅宽恕我的粗心

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回复 4# 力工

重复的那帖我删掉了。

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函数 $f(x)=x^3-|ax^2+b|-1$在区间$(0,2)$上有2个零点,则$\dfrac{b}{a}$的取值范围 ...
力工 发表于 2019-6-4 17:10
这种题真是好无趣呀……

首先在 `(0,1)` 内显然无零点,因此区间可以缩小为 `[1,2)`。

不妨设 `a>0`,记 `g(x)=x^3-1`, `h(x)=ax^2+b`。

(1)若 `h(1)>0`,绝对值可忽略,即 `g(x)-h(x)=0` 在 `(1,2)` 内有两根,此时必有 `h(2)>g(2)`,但 `g(x)` 更高次,在更远处必还会有一个大根,这表明 `g(x)-h(x)=0` 有三个正根,但 `g(x)-h(x)` 没有一次项,由韦达定理知三根的两两之积之和为 `0`,矛盾!从而这种情况不存在;

(2)若 `h(1)=0`,即已经有一个零点是 `x=1`,此时应满足 `h'(1)>g'(1)` 且 `h(2)<g(2)`(否则又会像上面那样推出矛盾),即 `a+b=0`, `2a>3`, `4a+b<7`,也即 `a+b=0`, `a\in(3/2,7/3)`,此时 `b/a=-1`;

(3)若 `h(1)<0`,则有三种情况满足条件:

(3-1)`h(x)` 与 `g(x)` 相切,且切点的横坐标在 `(1,2)` 内,结果见楼下;

(3-2)`h(2)>g(2)`,即 `a+b<0\land 4a+b>7`,得 `b/a\in(-4,-1)`;

(3-3)`h(2)=g(2)` 且 `h'(2)<g'(2)`,即 `a+b<0\land 4a+b=7\land a<3`,得 `b/a\in(-5/3,-1)`。

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回复 6# kuing

傍晚时撸得太急,(1)撸错了,不是三根之积为 1,而是两两之积之和为 0,还好修改一下不影响后面,而后面也有些细节没考虑周全。

现在来把(3-1)完结它,并不需要用啥判别式。

设切点横坐标为 `t\in(1,2)`,则
\[g(x)-h(x)=(x-t)^2(x-u),\]展开对比系数得
\[a=\frac32t, b=-\frac12(t^3+2), u=-\frac t2,\]从而
\[\frac ba=-\frac{t^3+2}{3t}\in\left(-\frac53,-1\right).\]
综上所述,将各个范围并起来,可知 `b/a` 的范围是 `(-4,-1]`。

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顺便画一下满足题意的 `(a,b)` 的图象:
捕获.PNG
2019-6-5 01:49

白点表示空心,不取。
绿线是(2)的;
紫色的曲线是(3-1)的;
黄色区域(不含边界)是(3-2)的;
粉红线是(3-3)的。

上述解法肯定有很大的改进空间,事关现在仅仅是讨论 b/a 的范围,从结果来看(3-1)(3-3)的讨论其实是白干的,因此或许可以用某种方法直接判断出(3-1)(3-3)的讨论是多余的。甚至,或许换个方法,根本不用分那多类,或者让讨论简洁些,像楼上的设零点方法似乎就是个不错的方向……

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设零点式来解决此类问题应该是首选。类似:$ f(x)=x^2+ax+b $在[-1,1]上有零点,且$ 0\leqslant b-2a\leqslant 1 $,求b的范围。把所求的式子用零点$ m,n $表示,类似二元(其实本质是一元)函数的取值范围。免去用图像讨论一个两个零点的麻烦。

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回复 5# kuing

转化为$x^2=t$,则$y=t^\dfrac{3}{2}-1$与$y=\abs{at+b}$的交点问题。

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