繁體
|
簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
(檢舉)
分享
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
快速注册
登录
论坛
搜索
帮助
原始风格
brown
purple
green
red
orange
gray
pink
violet
blue
greyish-green
jeans
greenwall
私人消息 (0)
公共消息 (0)
系统消息 (0)
好友消息 (0)
帖子消息 (0)
应用通知 (0)
应用邀请 (0)
悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 一个向量数量积的最值
返回列表
发帖
力工
发短消息
加为好友
力工
当前离线
UID
97
帖子
612
主题
162
精华
0
积分
4018
威望
2
阅读权限
90
在线时间
1516 小时
注册时间
2013-8-10
最后登录
2022-6-7
1
#
跳转到
»
倒序看帖
打印
字体大小:
t
T
发表于 2019-5-25 22:34
|
只看该作者
[几何]
一个向量数量积的最值
在做题时遇到:已知 椭圆$\dfrac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上的动点$P$,
圆$(x-1)^2+y^2=16$上的动点$Q$,且$F(-1,0)$,求$\vv{FP}\cdot \vv{FQ}$
的取值范围.
坐标代入后,可得
$2(2cos\theta +1)(2cos\varphi +1)+4\sqrt{3}sin\theta sin\varphi $,但后面
算不下去了。求助高招。
收藏
分享
分享到:
QQ空间
腾讯微博
腾讯朋友
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
2
#
发表于 2019-5-25 23:23
|
只看该作者
既然那个点是焦点,那就从几何角度考虑呗……
最大值太简单,显然 `FP\leqslant 3`, `FQ\leqslant 6`,所以 $\vv{FP}\cdot\vv{FQ}\leqslant FP\cdot FQ\leqslant18$,当 `P(2,0)`, `Q(5,0)` 取等;
至于最小值,设圆心为 `G`,则 $\vv{FP}\cdot\vv{FQ}$ 取最小值时必然 $\vv{FP}\px\vv{GQ}$ 且方向相反,如下图所示,即 $\vv{FP}\cdot\vv{FQ}\geqslant-FP\cdot HQ$。
2019-5-25 23:24
记 `\angle PFG=\theta`,根据圆锥曲线极坐标公式,易知 `FP=3/(2-\cos\theta)`,而由 $FP\px GQ$ 易得 `HQ=4-2\cos\theta`,从而 `FP\cdot HQ` 恒为 `6`,可见 $\vv{FP}\cdot\vv{FQ}$ 的最小值就是 `-6`。
综上,由连续性即得取值范围就是 `[-6,18]`。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
TOP
敬畏数学
发短消息
加为好友
敬畏数学
当前离线
UID
2467
帖子
1074
主题
186
精华
0
积分
5755
威望
2
阅读权限
90
在线时间
370 小时
注册时间
2015-1-14
最后登录
2022-4-24
3
#
发表于 2019-5-26 09:25
|
只看该作者
双动点,先固定椭圆上的点,显然与圆心一直线上,同向共线为最大,反向共线为最小。$ \vv{FQ}=\vv{FG}+\vv{GQ} $
TOP
力工
发短消息
加为好友
力工
当前离线
UID
97
帖子
612
主题
162
精华
0
积分
4018
威望
2
阅读权限
90
在线时间
1516 小时
注册时间
2013-8-10
最后登录
2022-6-7
4
#
发表于 2019-5-26 13:28
|
只看该作者
回复
2#
kuing
回复
3#
敬畏数学
谢谢!某渣已硬算解决!
TOP
返回列表
回复
发帖
[收藏此主题]
[关注此主题的新回复]
[通过 QQ、MSN 分享给朋友]