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[几何] 一个向量数量积的最值

在做题时遇到:已知 椭圆$\dfrac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上的动点$P$,
圆$(x-1)^2+y^2=16$上的动点$Q$,且$F(-1,0)$,求$\vv{FP}\cdot \vv{FQ}$
的取值范围.
坐标代入后,可得
$2(2cos\theta +1)(2cos\varphi +1)+4\sqrt{3}sin\theta sin\varphi $,但后面
算不下去了。求助高招。
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既然那个点是焦点,那就从几何角度考虑呗……

最大值太简单,显然 `FP\leqslant 3`, `FQ\leqslant 6`,所以 $\vv{FP}\cdot\vv{FQ}\leqslant FP\cdot FQ\leqslant18$,当 `P(2,0)`, `Q(5,0)` 取等;

至于最小值,设圆心为 `G`,则 $\vv{FP}\cdot\vv{FQ}$ 取最小值时必然 $\vv{FP}\px\vv{GQ}$ 且方向相反,如下图所示,即 $\vv{FP}\cdot\vv{FQ}\geqslant-FP\cdot HQ$。
TIM截图20190525232205.png
2019-5-25 23:24

记 `\angle PFG=\theta`,根据圆锥曲线极坐标公式,易知 `FP=3/(2-\cos\theta)`,而由 $FP\px GQ$ 易得 `HQ=4-2\cos\theta`,从而 `FP\cdot HQ` 恒为 `6`,可见 $\vv{FP}\cdot\vv{FQ}$ 的最小值就是 `-6`。

综上,由连续性即得取值范围就是 `[-6,18]`。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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双动点,先固定椭圆上的点,显然与圆心一直线上,同向共线为最大,反向共线为最小。$ \vv{FQ}=\vv{FG}+\vv{GQ} $

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回复 2# kuing

回复 3# 敬畏数学

谢谢!某渣已硬算解决!

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