没啥特别的啊,按常规的做法就是了
\[f'(x)=\frac{a(x+2)+(x-2)e^x}{x^3},\]则
\[f'(x)=0\iff a=-\frac{x-2}{x+2}e^x=g(x),\]易证当 `x>0` 时 `g(x)` 递减且在 `(0,2]` 上的值域为 `[0,1)`,也就是对任意 `a\in[0,1)` 都唯一存在 `x_0\in(0,2]` 满足 `a=g(x_0)`,即 `f'(x_0)=0`,那么 `f(x_0)` 就是最小值,此时
\[f(x_0)=\frac{e^{x_0}-(x_0+1)g(x_0)}{x_0^2}=\frac{e^{x_0}+(x_0+1)\frac{x_0-2}{x_0+2}e^{x_0}}{x_0^2}=\frac{e^{x_0}}{x_0+2},\]易证右边关于 `x_0` 递增,所以最小值的值域就是 `(1/2,e^2/4]`。 |