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[函数] 含参变量函数的最小值值域问题

若$ a∈[0,1)$,讨论函数$ f(x)=\frac{e^x-ax-a}{x^2}(x>0) $的最小值,并求最小值的值域。
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没啥特别的啊,按常规的做法就是了
\[f'(x)=\frac{a(x+2)+(x-2)e^x}{x^3},\]则
\[f'(x)=0\iff a=-\frac{x-2}{x+2}e^x=g(x),\]易证当 `x>0` 时 `g(x)` 递减且在 `(0,2]` 上的值域为 `[0,1)`,也就是对任意 `a\in[0,1)` 都唯一存在 `x_0\in(0,2]` 满足 `a=g(x_0)`,即 `f'(x_0)=0`,那么 `f(x_0)` 就是最小值,此时
\[f(x_0)=\frac{e^{x_0}-(x_0+1)g(x_0)}{x_0^2}=\frac{e^{x_0}+(x_0+1)\frac{x_0-2}{x_0+2}e^{x_0}}{x_0^2}=\frac{e^{x_0}}{x_0+2},\]易证右边关于 `x_0` 递增,所以最小值的值域就是 `(1/2,e^2/4]`。

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哈哈,处理太好,极小值点的范围确定完美。谢谢!

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BTW,有网络解答非常胡扯,具体不说。

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回复 5# 敬畏数学

有链接的话发来瞧瞧是怎样胡混过关的?

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本帖最后由 敬畏数学 于 2019-5-25 13:53 编辑

回复 6# kuing
$ G(x)=lnx+(x-2)e^x-x<a $在$ x∈[\frac{1}{2},1] $上恒成立,求a的范围。易证得:$ G(x)$在$[\frac{1}{2},m)$上递增,在$(m,1)$上递减,$m $满足$ e^m=\frac{1}{m} ,m∈(\frac{1}{2},1)$,$G(x)$的最大值为$ G(m)= lnm+(m-2)e^m-m=1-\frac{2}{m}-2m$,易得:$G(m)$在$m∈(\frac{1}{2},1)$递增,所以$ a\geqslant G(1)=-3 $。大致是这样。其实,此题如果改一下还是可以的,改为求a的最小整数。G(m)∈(-4,-3),则a的最小整数为-3。

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本帖最后由 isee 于 2019-5-28 14:18 编辑

回复 6# kuing

这个其实就是2016年理科全国卷2的导数第(2)问


http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4102——此链接,仅链接中,难得是乌贼写的,且思路一样

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回复 8# isee
吓我一跳,以为7楼网上是我写的

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