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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 来自 585 的动点不等式
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发表于 2019-5-22 23:31
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只看该作者
[不等式]
来自 585 的动点不等式
教学乡长 19:31:07
下载
(21.51 KB)
2019-5-22 23:27
有这个结论吗?
第一时间,并不是撸题,而是先
扣代码
:
下载
(50.46 KB)
2019-5-22 23:32
呐,只识别错了最后一个 c,其实也算不上错了,因为那两个 C 写得几乎一样……
代码复制出来后,开始撸题:
$$(P A+P B+P C)^{2} \geqslant \sqrt{3}(a P A+b P B+c P C)$$
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发表于 2019-5-22 23:38
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只看该作者
证:在
惯性矩不等式
`(x+y+z)(xPA^2+yPB^2+zPC^2)\geqslant yza^2+zxb^2+xyc^2` 中,令 `x=1/PA` 等,得
\[\left( \frac1{PA}+\frac1{PB}+\frac1{PC} \right)(PA+PB+PC)\geqslant\frac{a^2}{PB\cdot PC}+\frac{b^2}{PC\cdot PA}+\frac{c^2}{PA\cdot PB},\]即
\[(PB\cdot PC+PC\cdot PA+PA\cdot PB)(PA+PB+PC)\geqslant a^2PA+b^2PB+c^2PC,\]所以
\begin{align*}
(PA+PB+PC)^4
&\geqslant3(PB\cdot PC+PC\cdot PA+PA\cdot PB)(PA+PB+PC)^2\\
&\geqslant3(a^2PA+b^2PB+c^2PC)(PA+PB+PC)\\
&\geqslant3(aPA+bPB+cPC)^2,
\end{align*}两边开荒即得证。
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kuing
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发表于 2019-5-23 00:26
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惯性矩不等式不愧是母不等式,可以随便整出各种不等式来,比如,我们取 `x=PB\cdot PC/PA` 等,又有
\[3\bigl((PB\cdot PC)^2+(PC\cdot PA)^2+(PA\cdot PB)^2\bigr)\geqslant a^2PA^2+b^2PB^2+c^2PC^2,\]对右边再放个缩,可得
\[3\sqrt{(PB\cdot PC)^2+(PC\cdot PA)^2+(PA\cdot PB)^2}\geqslant aPA+bPB+cPC,\]这个与 1# 的题应该是不分强弱的。
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isee
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发表于 2019-5-23 10:38
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只看该作者
推 Mathpix Snip 啦,虽然我觉得还不如直接手动输入
Mathpix Snip 能连续多行(一次性)识别的话,那就真不错了。
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爪机专用
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发表于 2019-5-23 11:00
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isee
代码熟练的,而且对代码有要求的,自然会觉得手动输入更好。
我推荐它的用意之一其实是想给不太愿意码代码的一个学习的途径,或者说尝试的契机。
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发表于 2019-5-23 13:58
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爪机专用
用心良苦。。。
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敬畏数学
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发表于 2019-5-23 14:55
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