[函数] 二元函数的最值

敬畏数学

$ x，y ∈[0，+\infty )$，则$x^3+y^3-5xy$的最小值_____。

kuing

？？均值后变成一元函数求导就行啊，太简单了吧……

敬畏数学

回复 2# kuing
牛！一次均值也可以。$ \geqslant 2\sqrt{(xy)^3}-5xy $，然后设$ \sqrt{xy}=t $，$g(t)=2t^3-5t^2，t\geqslant 0，$易得，最小值为$ -\frac{125}{27} $，等号取得简单。

敬畏数学

干脆一次消掉$ xy$成定值，$  x^3+y^3+\lambda -5xy-\lambda \geqslant 3\sqrt[3]{\lambda }xy-5xy-\lambda ，（\lambda ＞0）$，由 $3\sqrt[3]{\lambda }-5=0$，得，$ \lambda =\frac{125}{27} $，最小值为$ -\frac{125}{27} $，等号取得：$ x^3=y^3=\lambda = \frac{125}{27}$。

kuing

回复 4# 敬畏数学

嗯，这样好点。