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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一个放缩问题
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发表于 2019-5-21 21:55
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[不等式]
一个放缩问题
这种放缩在大家手里象棉条一样。下面献题:
已知$a,b,c$非负,且$a+b+c=1$,求证:
$6-4\sqrt{2}\leqslant a^3+2b^2+\frac{8}{3} c\leqslant\frac{8}{3}$.
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kuing
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发表于 2019-5-21 23:06
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只看该作者
题目确定没抄错?右边显然成立,而左边似乎取不了等……
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发表于 2019-5-21 23:38
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$ a^3\leqslant \frac{8}{3}a,2b^2\leqslant \frac{8}{3}b,\frac{8}{3}c=\frac{8}{3}c $,显然右边成立,等号取$ a=0,b=0,c=1 $。$ a^3+\frac{16\sqrt{2}}{27}+\frac{16\sqrt{2}}{27}+2b^2+\frac{8}{9}+\frac{8c}{3}-\frac{32\sqrt{2}}{27}- \frac{8}{9}>6-4\sqrt{2}$
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发表于 2019-5-21 23:53
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敬畏数学
你可以试试证明原式 >=14/27
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发表于 2019-5-22 08:31
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$ a^3\geqslant \frac{4}{3}a-\frac{16}{27},a∈[0,1] $,$2b^2\geqslant \frac{4}{3}b-\frac{2}{9},b∈R,a^3+2b^2+\frac{8}{3}c\geqslant \frac{4}{3}(a+b+2c)-\frac{22}{27}\geqslant \frac{14}{27}$,等号成立:$ a=\frac{2}{3} ,b=\frac{1}{3},c=0$
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发表于 2019-5-22 13:37
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kuing
原题是这样了,可能就是为了让人学学放缩。k神一眼就瞧出来可以改进!大写的服!
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