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[不等式] 一个放缩问题

这种放缩在大家手里象棉条一样。下面献题:
已知$a,b,c$非负,且$a+b+c=1$,求证:
$6-4\sqrt{2}\leqslant a^3+2b^2+\frac{8}{3} c\leqslant\frac{8}{3}$.
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题目确定没抄错?右边显然成立,而左边似乎取不了等……

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$ a^3\leqslant \frac{8}{3}a,2b^2\leqslant \frac{8}{3}b,\frac{8}{3}c=\frac{8}{3}c $,显然右边成立,等号取$ a=0,b=0,c=1 $。$ a^3+\frac{16\sqrt{2}}{27}+\frac{16\sqrt{2}}{27}+2b^2+\frac{8}{9}+\frac{8c}{3}-\frac{32\sqrt{2}}{27}- \frac{8}{9}>6-4\sqrt{2}$

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回复 3# 敬畏数学

你可以试试证明原式 >=14/27

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$ a^3\geqslant \frac{4}{3}a-\frac{16}{27},a∈[0,1] $,$2b^2\geqslant \frac{4}{3}b-\frac{2}{9},b∈R,a^3+2b^2+\frac{8}{3}c\geqslant \frac{4}{3}(a+b+2c)-\frac{22}{27}\geqslant \frac{14}{27}$,等号成立:$ a=\frac{2}{3} ,b=\frac{1}{3},c=0$

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回复 2# kuing
原题是这样了,可能就是为了让人学学放缩。k神一眼就瞧出来可以改进!大写的服!

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