[几何] 四面体积最大值问题

敬畏数学

三棱锥A-BCD，AB=4，CD=3，A-BCD四点落在半径为5的球面上，则此三棱锥A-BCD的体积最大值为________。

kuing

和 2010 那道高考题类似啊

kuing

设 `AB`, `CD` 的中点分别为 `P`, `Q`，球心为 `O`，则 `OP=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}`, `OQ=\sqrt{5^2-(3/2)^2}=\sqrt{91}/2`，那么
\[
V_{ABCD}\leqslant\frac13\cdot\S{ABQ}\cdot CD
\leqslant\frac13\cdot\frac12\cdot AB\cdot PQ\cdot CD
\leqslant\frac13\cdot\frac12\cdot AB\cdot(OP+OQ)\cdot CD=2\sqrt{21}+\sqrt{91},
\]当 `AB\perp CD` 且 `O` 在线段 `PQ` 上时取等。

kuing

回复 3# kuing

下次干脆就这样写：

引理：设 `M`, `N` 分别在 `AB`, `CD` 上，则 `AB\cdot CD\cdot MN\geqslant6V_{ABCD}`。

回到原题：取 `M`, `N` 分别为 `AB`, `CD` 的中点，由引理得
\[V_{ABCD}\leqslant\frac16AB\cdot CD\cdot MN\leqslant\frac16AB\cdot CD\cdot(OM+ON)=\frac16AB\cdot CD\cdot\left(\sqrt{R^2-\frac{AB^2}4}+\sqrt{R^2-\frac{CD^2}4}\right),\]代入数据得XXX……

这样写的逼格是不是高点？

敬畏数学

回复 4# kuing
直觉应该是这样，是否有严密的证明？谢谢。

kuing

回复 5# 敬畏数学

3# 不就是证明吗？？