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[函数] 二元函数最小值

本帖最后由 敬畏数学 于 2019-5-21 09:38 编辑

$x,y$均正数,$ xy(x+2y) =2$,则
$ x+y $的最小值___。
$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=x(x+2y)+y^2=\frac{2}{y}+y^2=\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+y^2\geqslant 3,x+y\geqslant \sqrt{3} $,等号取得:$ x=\sqrt{3}-1,y=1 $
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本帖最后由 realnumber 于 2019-5-20 18:45 编辑

待定系数法得出常数a,b
$(ax)(by)(x+2y)=2ab\le (\frac{ax+by+x+2y}{3})^3$,a+1=b+2,ax=by=x+2y

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本帖最后由 敬畏数学 于 2019-5-21 09:47 编辑

$ x>0,y>0,\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1,x^2+y^2-6x $的最小值______。
$ \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1 $,即:$ x+2y-xy=0 $,$ (x-2)(y-1)=2 $,设$ m=x-2,n=y-1 $,即$ mn=2 $,$ x^2+y^2-6x=(x-3)^2+y^2-9=(m-1)^2+(n+1)^2-9=m^2+n^2-2(m-n) -7=(m-n)^2-2(m-n)+2mn-7=(m-n-1)^2-4\geqslant -4$,等号取得满足:$ m-n=1,mn=2 $,即:$ m=2,n=1 $

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回复 3# 敬畏数学

有明显的几何意义,但求切点不好算啊。随手甩的一道吧。敬先生。

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\[(x^2+y^2)\left( \frac2x+\frac1y \right)^2-6x\left( \frac2x+\frac1y \right)+4=\frac{(x-2y)^2(x+y)^2}{x^2y^2}\geqslant0\]
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回复 4# 力工

肯定不是随手的,数据是经过设计的,否则就会是四次方程。

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本帖最后由 realnumber 于 2019-5-20 21:51 编辑
$ x>0,y>0,\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1,x^2+y^2-6x $的最小值______。再来一个。
敬畏数学 发表于 2019-5-20 20:56


(平移可以变)反比例函数上设一点A.
B(3,0),AB和A处切线垂直

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回复 2# realnumber 这个待定可以a,b能求出吗?

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回复 5# 色k
配方?

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回复 4# 力工
也这样想,但好像计算不太可行啊。

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回复 9# 敬畏数学

参见这帖 http://kuing.orzweb.net/redirect ... =5557&pid=28002 的3楼。

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