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[组合] 戊烷球棍模型推广的计数

【引子】
我们都知道戊烷有三种同分异构体:
正戊烷:\(\,\bf{CH_{3}CH_{2}CH_{2}CH_{2}CH_{3}}\,\)
2-甲基丁烷:\(\,\bf{CH_{3}CH(CH_{3})CH_{2}CH_{3}}\,\)【异戊烷】
2,2-二甲基丙烷:\(\,\bf{CH_{3}C(CH_{3})_{3}}\,\)【新戊烷】
也就是说戊烷的球棍模型有三种,那么问题来了:
有四根不同颜色的牙签(四根牙签的颜色分别是a,b,c,d,忽略除颜色外的其他不同);
五个不同颜色的橡皮泥小球(五个橡皮泥小球的颜色分别是A,B,C,D,E,忽略除颜色外的其他不同);
用这四根牙签来连接五个橡皮泥小球,有多少种可能?(感觉会挺大的)

【值得注意的是】当一个橡皮泥小球连接四个橡皮泥小球的时候会出现“手性结构”
(即通过空间变换无法将左手与右手重合)
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wocao,化学也来了,一点儿也不懂……

PS、标题第一眼看成了“混球”……

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先简单的试下
1.连成一条“直链”,有$4!5!/2=1440$种.除以2是因为顺序可以颠倒.
2.连成中间一个小球$C_5^1$,其它4个球通过牙签插在这个小球上,
先插4根牙签2种(手性结构),再接上4个球4!种.合计有240种.
3.连成“Y”型.这样连接:先三个球形成“直链(不颠倒)”$A_5^3A_4^2$,再在固定一端插上2牙签及球2种.合计1440种.
以上1.2.3.合计有3120种.

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因为已经给出了所有的同分异构体,剩下就是对每个进行染色了,最后求和即可(对于2,2-甲基丙烷情况则要用到伯恩赛德引理或Polya定理)。楼主需要先明确一个问题:牙签(化学键)的4种颜色和小球(原子或官能团)的5种颜色有交集吗?

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回复 4# Infinity
谢谢指正。
确实没有明确指出,但是我用字母的大小写确实就像将它们区分开。
也就是说,我想表达的是牙签的颜色没有一个与小球的颜色相同。

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考虑正戊烷分子型:两个变换:恒等、右旋180度,显然旋转后不存在重合的情形(因为颜色都不相同),故为(5!4!+0)/2=1440种。

2-甲基丁烷分子型:分子结构共面,故变换也是两个:恒等、绕连接2个甲基的长链轴旋转180度。后者也不可能出现旋转后重合的情形,因为甲基团碳颜色不同,故同样是1440种。

2,2-二甲基丙烷分子型:碳-碳结构类似一个中心碳连接正四面体各个顶点。基团都一样,这个应该不存在手性情况。考虑正四面体的旋转变换:绕四面体顶点与对面中心连线XX'旋转120度,240度,显然不存在旋转不变方案;绕一条棱中心与对棱中心连线YY'旋转120度,240度,显然也不存在。故共有(5!4!+0+0)/5=576种。

一共1440+1440+576=3456种。

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