函数$f(x)=\mathrm{e}^x-\ln(x+m)$,其中$m\geq 1$.
若$y=f(x)$有两个不同的零点$x_1$和$x_2$,且$x_1<0<x_2$,
求参数m的取值范围;
求证$\mathrm{e}^{x_2-x_1}-\ln(x_2-x_1+1)>\mathrm{e}-1$.
我这样证,构造函数$g(x) = \mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}-x$,画出其草图,$x_2>0$,需要$m>g(0)=\mathrm{e}$.
第二问因为$h(x)=\mathrm{e}^x-\ln(x+1)$在$(0,+\infty)$上单增,只需证$h(x_2-x_1)>h(1)=\mathrm{e}-\ln 2>\mathrm{e}-1$,即证$x_2-x_1>1$,只需证$g(-1)<0$即可,即$\mathrm{e}^\frac{1}{\mathrm{e}}+1<\mathrm{e}$,即$\frac{1}{\mathrm{e}}<\ln(\mathrm{e}-1)$,经过计算发现符合.
不知道有没有其他的做法。 |