[几何] 翻折过程AB,CD所成角的取值范围

realnumber

平面四边形中AB=1,$BC=\sqrt{3}$,AC⊥CD,$CD=\sqrt{3}AC$,当BD取得最大值时，将三角形ABC沿AC折起，折到与面ACD重合过程中，直线AB与CD所成角的余弦取值范围是______.

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2019-5-15 14:46

色k

不是吧，这种题都能难倒楼主？
首先前半部分，熟知四点共圆时最大，后半部分，算一下角BAC，然后夹角最小就是90度减它，最大就是90度。

realnumber

汗，是有些难住了，刚解出来，和参考答案不一样，还有看看有没别的办法
[0,$\frac{\sqrt{21}}{14}$]

realnumber

四点共圆会导致最大不知道.
记∠ABC=s,∠ABC=t,AC=b,在三角形ABC中由正弦定理和余弦定理
以及在三角形BCD中由余弦定理，得到
$\abs{BD}^2=15+12\sin(s-\frac{\pi}{3})$

敬畏数学

广义托勒密定理。

敬畏数学

kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6011
类似问题。

isee

四点共圆会导致最大不知道.
记∠ABC=s,∠ABC=t,AC=b,在三角形ABC中由正弦定理和余弦定理
以及在三角形BCD中 ...
realnumber 发表于 2019-5-15 15:54

$BD$最大值，就是高中标准做法了，利用正、余弦定理转化为三角函数。

在平几（或者说在初中）角度下，其实就是一个位似旋转，将三角形$BCD$绕点$C$逆时针旋转$90$度，并缩小$\sqrt 3$倍，得到三角形$B'CA$，此时在三角形$B'BA$中，由三边关系有$$\frac{BD}{\sqrt 3}=B'A\leqslant B'B+BA=2+1=3,$$取$"="$时，如图，$\angle B'BA=180^\circ\Rightarrow \angle ABC=150^\circ$，就是$A,B,C,D$四点共圆，这个过程，写成一般情况，就是托勒密（Ptolemy）不等式。

kuing

回复 6# 敬畏数学

还有 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=3464

乌贼

回复 4# realnumber

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2019-5-15 21:28

2楼的熟知及7楼的解法都不懂，不过$ BD $取得最大值时四点确实共园。
如图作$ \triangle BCE,\angle CBE=60\du ,\angle BEC=30\du  $，有\[ \triangle ABC\sim \triangle DEC\riff DE=\sqrt{3} \]即$ D $在以$ E $为圆心，半径$ DE=\sqrt{3} $的园上，当$ B、E、D $三点共线时$ \angle BAC=\angle BDC $，点$ A、B、C、D $四点共园。

isee

回复 9# 乌贼


细看了，学习了，也明白了，为什么曾经kuing，及你都作了那么多圆，原来视角不一样。

本质上说，你与我的解法是一样的，用“在三角形中两边之和大于第三边”，就即9#的辅助线简化了，另外，DE的长度应该是$\sqrt 3$.

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2019-5-16 00:02

实际上就是将左边阴影小三角形绕点C顺时针旋转90度，并放大$\sqrt 3$倍，得到三角形CED，此时有直角三角形BCE。

在"三角形"BED中，$BD\leqslant BE+ED=2\sqrt 3+\sqrt 3=3\sqrt 3$。

取最大值时，B，E，D三点共线，容易得到$\angle ABC=\angle CED=180^\circ-\angle BEC=150^\circ$。


再另外，原7楼中有笔误，且是关键点，会影响理解，现已经修改。

乌贼

回复  乌贼


细看了，学习了，也明白了，为什么曾经kuing，及你都作了那么多圆，原来视角不一样。

本质 ...
isee 发表于 2019-5-16 00:06

我还真没想到用“在三角形中两边之和大于第三边” ，我是用“求园上一动点到园外一定点的距离最大值”来考虑的