本帖最后由 敬畏数学 于 2019-5-16 18:10 编辑
结论正确。计算硬算设直线y=kx+m。如果是具体数字可能计算简单一些。也可以设M,N点坐标,算的截距为定值,计算有技巧。设$M(x_1,y_1), N(x_2,y_2) $,由(1)得$\frac{y_1-b}{x_1}\cdot \frac{y_2-b}{x_2}=1 $,且$ N(x_2,y_2) $在椭圆上,得:$\frac{y_2-b}{x_2}=-\frac{b^2x_2}{a^2(y_2+b)} $,从而有$ a^2x_1y_2+b^2x_2y_1=b^3x_2-a^2bx_1 $,同理:$ a^2x_2y_1+b^2x_1y_2=b^3x_1-a^2bx_2 $,直线MN的方程为:$ y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x+$ $ \frac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2} $,把点M,N在椭圆上得到的两式相减得:$\frac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}=-\frac{(a^2+b^2)b}{a^2-b^2} $,所以,$ y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x-\frac{(a^2+b^2)b}{a^2-b^2} $ ,直线MN过定点$ (0, -\frac{(a^2+b^2)b}{a^2-b^2} ) $。 |