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[几何] 求$\abs{\vv{a}-\vv{b}}$的最大值

已知:$\vv{a}·\vv{b}=0, \abs{\vv{c}}=1,\abs{\vv{a}-\vv{c}}=\abs{\vv{c}-\vv{b}}=5$,求$\abs{\vv{a}-\vv{b}}$的最大值.
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答案:8。晚点再码一下。

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与《撸题集》P1030 FAQ 43 是同一类题。

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因为$\vv{a}·\vv{b}=0$,设$\abs{\vv{a}-\vv{b}}=\abs{\vv{a}+\vv{b}}=m$,
由$\abs{\vv{c}-\vv{b}}=\abs{\vv{c}-\vv{a}}=5$,平方,相加得到
$-2m\le m^2-48=2\vv{c}·(\vv{a}+\vv{b})\le 2m$
解得$6\le m\le 8$,取等条件如图所示.
$\vv{OA}=\vv{a},\vv{OB}=\vv{b},\vv{OC}=\vv{c}$,
QQ截图20190513134813jianyan.png
2019-5-13 14:03

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回复 3# kuing
FAQ中求弦中点轨迹及矩形第四顶点(圆外)的轨迹方法很好。

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最近这方面的题很多;抄袭几个:
(1)平面向量$  \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},|\overrightarrow{a}|=3,|\overrightarrow{b}|=2,|\overrightarrow{c}|=1,(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=0$,则$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|  $的范围______。($ [2\sqrt{3}-1,2\sqrt{3}+1 ]$)
(2)平面向量$  \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},|\overrightarrow{a}|=1,|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2,|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|+|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$,则$|\overrightarrow{c}|$的范围_____。($ [\frac{\sqrt{3}}{3},1 ]$)。
第一题依葫芦画瓢简单!第二题答案做出来了,但很复杂,就是设点,点C轨迹(一般都是圆或部分)出来,然后范围。考虑是否纯几何法求C轨迹?谢谢。

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回复 6# 敬畏数学

题(2)其实就是由一道常见的初中几何题出的:
QQ截图20190517161126.png
2019-5-17 16:13

`P` 在弧 `AA'` 上,`\triangle BAA'` 和 `\triangle APQ` 均为正三角形,则 `\triangle ABP\cong\triangle AA'Q`,由此得到 `PB=PA+PA'`。
题(2)的 $\bm a=\vv{OA}$, $\bm b=\vv{OB}$,那么 `\bm c` 就是 $\vv{OP}$,当然,要严格一点,还要证明除了弧 `AA'` 的其他点都不符合才行,不过懒得扯了,另外,弧的端点也符合,所以 1 能取到。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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未命名.PNG
2019-5-17 23:30

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回复 7# kuing
等边三角形外接圆的性质原型。

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回复 8# 游客
此解法更神奇。。。。

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本帖最后由 色k 于 2019-5-18 14:56 编辑

回复 10# 敬畏数学

相当于把矩形那平方和性质证了并使用。
当 `\bm a\cdot\bm b=0` 时 `\bm c^2+(\bm a+\bm b-\bm c)^2=(\bm a-\bm c)^2+(\bm b-\bm c)^2`
也就是 `CO^2+CD^2=CA^2+CB^2`(`D` 为矩形第四顶点)

顺便配个图
捕获.PNG
2019-5-18 14:56

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$ M(1,0) $,点A在$ x^2+y^2=4 $上,点B在$ x^2+y^2=9$上,且$ \vv{MA}\cdot \vv{MB} =3$,则$ |\vv{MA}+ \vv{MB} | $的最大值______。此题设$ A(x_1,y_1) $,$ B(x_2,y_2) $,$A,B$中点$(x,y)$,把中点坐标平方消元可以可以解析出来中点轨迹。看高手能否别法?

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