[几何] 两点一线求四边形周长的极值

hbghlyj

//大家都在讨论几何极值，小初中生也来凑个热闹
定点A,B在直线a两侧，在a上求点M,N，使得MN有给定的长，且四边形ANMB的周长最小
即AN+BM达到最小值，将BM平移到B'N，N就是B'A与a的交点

如果题目改为下面，请教作法？
(1)定点A,B在直线a两侧，在a上求点M,N，使得MN有给定的长，且四边形ANMB的面积最小(当线段MN与AB相交时时折四边形，如果考虑有向面积显然是MN中点在AB上最小，此时有向面积为零，还得考虑四边形区域的面积何时最小，指的是两个小三角形的面积之和)
(2)定点A,B在直线a两侧，在a上求点M,N，使得MN有给定的长，且四边形AMBN的周长最小
(这样四条边都是变量，但是四边形的面积为定值)

kuing

小初中生就少熬点夜吧

面积比较简单就不讲了。

周长的话，改后的，一般情况是尺规不可作的，精确解也是解不出的，比如 A(1,1), B(-2,-2), M(x,0), N(x+1,0)，我扔给软件算，结果是取最小值的 x 是一个 24 次方程的根。

大概只有一些特殊情形可以作，比如 A, B 到直线的距离相等，则当四边形为平行四边形时周长最小。

hbghlyj

尴尬。我去年的笔记字太乱了。我把两道题当成一道了。不是显然。题目已经改了。

爪机专用

（1）当 AB 与 MN 相交于 O 时，设 `MN=l`，A、B 到直线距离为 `h_1`、`h_2`，`OM=x`，
则两个小三角形面积之和为 `h_1x+h_2(l-x)=h_2l+(h_1-h_2)x`，所以：
若 `h_1<h_2`，则 M 在 AB 上时最小；
若 `h_1>h_2`，则 N 在 AB 上时最小。

hbghlyj

(2)特殊情况的详细证明：
四边形AMBN的四边平方和等于对角线的平方和与对角线中点距离平方的四倍的差，所以四边平方和当AB中点与MN中点连线垂直于时最小，再使用均值不等式得到如下结果：
若AB⊥a则AM=AN,BM=BN可同时取等，即筝形时周长最小
若AB到a等远则AM=BN,AN=BM可同时取等，即平行四边形时最小

kuing

回复 5# hbghlyj

“AB到a等远”的特殊情况用纯几何也可以证：

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2019-5-10 00:42

如图，平移 `ANB` 至 `A'MB'`，则 `AMBN` 的周长 `=MA+MB+MA'+MB'\geqslant AB'+A'B`，由于等远，`AB'` 与 `A'B` 的交点 `P` 必在 `a` 上，所以当 `M` 在 `P` 处时取等，此时就是平行四边形。

kuing

AB⊥a的情况也类似：

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2019-5-10 01:15

将 `A`, `B` 沿 $\vv{NM}$ 平移后再作关于 `a` 的对称，得 `A''`, `B''`，由垂直得 `AA''` 与 `BB''` 交点 `P` 在 `a` 上，从而 `AMBN` 的周长 `=MA+MB+MA''+MB''\geqslant AA''+BB''`，当 `M` 在 `P` 处时取等，此时就是筝形。