[函数] 分参后头更大了，行不通啊

facebooker

align*环境：
\begin{align*}
f(x)&=alnx-1/x,当a>0时，关于x的方程6f(x)=x^2只有一个解x_0,且x_0\geqslant p,(p∈z),求p的最大值\\
\end{align*}

kuing

多行公式才需要 align* 环境，这种行内公式的，用 \$ ... \$ 即可，像这样：
\$f(x)=a\ln x-1/x\$，当 \$a>0\$ 时，关于 \$x\$ 的方程 \$6f(x)=x^2\$ 只…………

facebooker

多谢 多谢 还不会玩。。。帮忙弄一下这题吧

kuing

分参 lnx 就到分母去了，肯定行不通……

令 `g(x)=6f(x)-x^2`，易知 `g''(x)<0`, `g(0^+)=g(+\infty)=-\infty`，所以 `g(x)=0` 只有一解 `x_0` 当且仅当 `g(x_0)=g'(x_0)=0`，后者得
\[a=\frac{x_0^3-3}{3x_0},\]代入前者整理得
\[\ln x_0=\frac{x_0^3+6}{2x_0^3-6},\]然后就是估计 `x_0` 的值，令 `h(t)=\frac13\ln t-\frac{t+6}{2t-6}`（`t=x_0^3>3`）易知 `h(t)` 递增且 `h(8)<0` 及 `h(27)>0`，可见 `x_0\in(2,3)`，所以 `p` 最大是 `2`。